Fresnel-diffraksjon

Fresnel-diffraksjon betegner i optikken det fenomen der lys blir avbøyd gjennom en åpning eller ved en hindring som er relativt nær til lyskilden eller observasjonspunktet. Når disse avstandene er tilstrekkelig store, går fenomenet over til Fraunhofer-diffraksjon som i de fleste tilfeller er enklere å beskrive enn Fresnel-diffraksjon og har større, praktisk betydning.

Fenomenet ble studert både eksperimentelt og teoretisk av Augustin Fresnel på begynnelsen av 1800-tallet. Med utgangspunkt i en tidligere formulering av Christian Huygens ga Fresnel denne en mer grunnleggende fremstilling. Den omtales i dag som Huygens-Fresnels prinsipp og danner utgangspunkt for alle typer diffraksjon. Teorien var basert på at lys er en bølgebevegelse som på den tiden var omstritt. Fresnels arbeid bidro i stor grad til at denne antagelsen ble generelt akseptert. Omtrent femti år senere viste James Maxwell at lys er elektromagnetiske bølger.

Intensiteten til det avbøyde lyset ved Fresnel-diffraksjon forandrer seg raskt med den karakteristiske utstrekning ℓ til diffraktor og dens typiske avstand L til lyskilde og observatør når disse måles i forhold til lysets bølgelengde λ. Denne type diffraksjon opptrer under slike forhold hvor disse størrelsene medfører at Fresnel-tallet

F={\ell ^{2} \over \lambda L}>1

Hvis derimot avstanden L til diffraktor øker tilstrekkelig mye, blir F < 1 og avbøyningen går over til Fraunhofer-diffraksjon. Da en skarp kant kan betraktes som en del av en uendelig stor spalte, gir den derfor en avbøyning og resulterende skygge som alltid må beskrives som Fresnel-diffraksjon. Mange som denne og lignende diffraksjonsfenomen kan gis en mer intuitiv, men approksimativ forklaring ved bruk av Fresnel-soner.

Generell formulering

Geometri for Fresnel-diffraksjon gjennom åpning med lyskilde i P₀ .

En matematisk utledning av Huygens-Fresnels diffraksjonsteoro ble først gitt av den tyske fysiker Gustav Kirchhoff i siste halvdel av 1800-tallet ved løsning av den skalare bølgeligningen. Amplituden til diffrakjonsbølgen i et vilkårlig punkt P kan da ifølge denne beregnes fra formelen

E_{P}=-{i \over \lambda }\int _{S}\!dSE_{Q}{e^{iks} \over s}K(\chi )

hvor E_Q er amplituden til det innkommende lyset i punkt Q på en flate S som det kan nå uhindret. Typisk beskriver den én eller flere åpninger i en ugjennomsiktig vegg eller hindring. Formelen gjelder for monokromatisk lys med bølgelengde λ og tilhørende bølgetall k = 2π /λ . Faktoren K(χ) avhenger av retningene til det innkommende og utgående lyset i punktet Q. Denne spiller en mindre vesentlig rolle her og kan neglisjeres med god nøyaktighet.^[1]

Da Fresnel-diffraksjon også omhandler diffraksjon hvor lyskilden kan befinne seg i endelig avstand fra diffraktoren, er det vanlig å anta at denne er lokalisert i et punkt P₀ hvorfra det sendes ut kulebølger av formen E_Q = E₀ e^ikr/r hvor r er avstanden mellom punktene P₀ og Q . Den kan beregnes ved å benytte kartesiske koordinater hvor linjen P₀P defineres som en z-akse og antas å stå vinkelrett på åpningen i hindringen. Da er

r=(a^{2}+x^{2}+y^{2})^{1/2}

og tilsvarende for lengden s hvor avstanden b til observasjonspunktet P vil inngå istedenfor a. De tidligere antagelsene tilsvarer at x og y er små i forhold til avstandene a og b slik at man kan benytte binomialteoremet til laveste orden til utregning av r og s . Det gir

r=a+{x^{2}+y^{2} \over 2a},\;s=b+{x^{2}+y^{2} \over 2b}

slik at diffraksjonsamplituden tar formen

E_{P}={E_{0} \over \lambda ab}\iint _{S}\!dxdy\,\exp {\left[i{\pi  \over \lambda }{\big (}x^{2}+y^{2}{\big )}{\big (}{1 \over a}+{1 \over b}{\big )}\right]}

når man ser bort fra en felles fasefaktor. Her er de kvadratiske leddene i r og s utelatt i nevneren foran integralet, mens de er av avgjørende betydning i eksponenten til integranden. Ikke uten grunn kalles de gjenstående integralene her for Fresnel-integral.^[1]

Fresnel-tall

Denne formen av diffraksjonsintegralet er basert på antagelsen om å beholde kun kvadratiske ledd i ekspansjonen av avstandene r og s i eksponenten i integranden. Man kan betegne de dominerende verdiene av x og y som opptrer i integralet, med ℓnår avstandene a og b til lyskilde og observatør har typiske verdier L. Da er denne antagelsen gyldig når høyere ordens ledd i ekspansjonen blir neglisjerbare, det vil si at betingelsen ℓ/L << 1 må være oppfylt.

Samtidig må også λ/ℓ << 1 for at Huygens-Fresnels prinsipp skal kunne anvendes. Forholdet mellom disse to dimensjonsløse størrelsene definerer Fresnel-tallet F = ℓ²/λ L, Dets størrelse er avgjørende for hva slags diffraksjonsbilde som vil opptre. Når avstanden L blir svært stor, vil dette tallet bli F < 1 og prosessen kan beskrives i stedet som Fraunhofer-diffraksjon. Det er på mange måter en enklere utgave av den mer generelle Fresnel-diffraksjon.^[1]

Cornu-spiral

For en vilkårlig form på åpningen må diffraksjonsintegralet utføres med numeriske metoder. Men for noen spesielle geometrier kan de uttrykkes ved tabulerte verdier av Fresnel-integralene. Ved å innføre størrelsen

C={2 \over \lambda }\left({1 \over a}+{1 \over b}\right),

er det da praktisk å definerer nye, dimensjonmløse koordinater $u^{2}=Cx^{2}$ og $v^{2}=Cy^{2}$ slik at $dudv=Cdxdy.$ . Den observerte amplituden vil nå følge fra integralet

E_{P}={E_{0} \over 2(a+b)}\iint _{S}\!dudv\,\exp {\left[i{\pi  \over 2}{\big (}u^{2}+v^{2}{\big )}\right]}

som uttrykker det generelle resultatet.

For de fleste, praktiske anvendelser må den gjenstående utregning gjøres med numeriske metoder. Men for diffraksjon med rektangulære åpninger kan den reduseres til kjente eller tabulerte verdier av Fresnel-integralene. Da vil de opprinnelige integrasjonene over åpningens x- og y-koordinater gå over til tilsvarende integrasjoner over u- og v-koordinater mellom faste grenser. Dermed blir

{\begin{aligned}E_{P}&={E_{0} \over 2(a+b)}\int _{u_{1}}^{u_{2}}\!du\,e^{{\pi  \over 2}u^{2}}\int _{v_{1}}^{v_{2}}\!du\,e^{{\pi  \over 2}u^{2}}\\&={E_{0} \over 2(a+b)}[F(u_{2})-F(u_{1})][F(v_{2})-F(v_{1})]\end{aligned}}

hvor nå amplituden er uttrykt ved de normaliserte Fresnel-integralene^[2]

F(s)=\int _{0}^{s}\!dt\,e^{i{\pi  \over 2}t^{2}}=C(s)+iS(s)

De kan representeres ved punkt i det komplekse planet hvor origo (0,0) tilsvarer s = 0. Når argumentet s varierer, beskriver det komplekse tallet F en kurve i dette planet som generelt kalles en klotoide, men vanligvis Cornu-spiral i optikken. Buelengden til kurven er identisk med s som blir uendelig stor når kurven nærmer seg sine to, asymptotiske punkt

F(\pm \infty )=\pm {1 \over 2}(1+i)

Intensiteten til det avbøyde lyset i punktet P er gitt ved kvadratet av absoluttverdien til den komplekse amplituden. det vil si

I_{P}={1 \over 4}I_{0}|F(u_{2})-F(u_{1})|^{2}||F(v_{2})-F(v_{1})|^{2}

Her er I₀ intensiteten uten noen hindring gitt ved amplituden E₀/(a + b). Det er konsistent med at I dette tilfellet vil begge integrasjonsgrensene gå mot pluss og minus uendelig. Absoluttverdien av begge integralene er dermed gitt ved

|F(\infty )-F(-\infty )|=2|F(\infty )|={\sqrt {2}}

som samtidig er avstanden mellom de to asymptotiske punktene til Cornu-spiralen. Formelt representerer disse integrasjonene over en uendelig stor åpning brudd med de antagelser som er tidligere gjort i utledning av diffraksjonsintegralet. Likevel viser dette at det gir en konsistent beskrivelse av prosessen. På ulike vis må de forskjellige approksimasjonene tilsammen oppheve hverandre slik at amplituden uttrykt ved Fresnel-integral er nøyaktigere enn hva man i utgangspunktet kunne forvente.^[3]

Eksempel

Konkrete beregninger av diffraksjonsamplituden kan uttrykkes ved numeriske verdier av Fresnel-integralene. Overganger mellom lys og skygge er styrt av deres verdier rundt de asymptotiske punktene til Cornu-spiralen. De kan finnes analytisk fra definisjon av integralene i grensen s → ∞ og er gitt ved

{\begin{aligned}C(s)&={1 \over 2}+{1 \over \pi s}\sin {\pi  \over 2}s^{2}\\S(s)&={1 \over 2}-{1 \over \pi s}\cos {\pi  \over 2}s^{2}\end{aligned}}

For en mer omtrentlig beskrivelse av det observerte diffraksjonsbildet er ofte kun den spesielle formen til Cornu-spiralen av betydning.^[4]

Skarp kant

Det er hensiktsmessig å velge origo O der linjen mellom lyskilden P₀ og observasjonspunktet P skjærer skjermen med åpningen. Når denne består av halvplanet x ≥ x₁ med - ∞ ≤ y ≤ ∞, vil P ligge i den geometriske skyggen hvis x₁ > 0 og i det belyste området i det motsatte tilfellet. Integrasjonen over y gir da faktoren √2 til amplituden slik at den observerte intensiteten i P blir

I_{P}(u)={1 \over 2}I_{0}|F(\infty )-F(u)|^{2}

hvor den dimensjonsløse u tilsvarer avstanden x₁. I det spesielle tilfellet at denne variable er null, ligger punktet P nøyaktig på kanten til den geometriske skyggen. Da F(0) = 0 og |F(∞)| = 1/√2, blir derfor intensiteten i dette punktet

I_{P}(0)={1 \over 2}I_{0}\cdot {1 \over 2}={1 \over 4}I_{0}

Den er redusert til en fjerdedel av den innkommende intensiteten som man kan se i det belyste området.^[4]

Går man dypere inn i skyggen, vil den variable x₁ øke og derfor også u. Når u > 1, kan man benytte de asymptotiske verdiene for Fresnel-integralene. De gir

{\begin{aligned}|F(\infty )-F(u)|^{2}&=|1/2-C(u)|^{2}+|1/2-S(u)|^{2}\\&={1 \over \pi ^{2}u^{2}}\end{aligned}}

Intensiteten $I_{P}(u>0)$ avtar derfor raskt i dette området uten videre oscillasjoner og derfor heller ikke observerte lyse og mørke striper i diffraksjonsbildet. Derimot vil disse opptre når man går inn i det belyste området hvor u < 0. Ved å benytte at F(-u) = - F(u), blir da intensiteten i dette området

I_{P}(u<0)=I_{0}{\big (}1-{1 \over \pi |u|}\cos \pi u^{2}{\big )}

og oscillerer derfor rundt den frie intensiteten med en jevnt avtagende amplitude.^[3]

Bred spalte

Hvis spalten er parallell med y-aksen og har bredde D, vil den inneholde punkt med x-koordinater som ligger mellom x₁ og x₂ . Da er x₂ - x₁ = D slik at også differansen Δu = u₂ - u₁ mellom de tilsvarende, dimensjonsløse koordinatene vil være konstant. Den observerte intensiteten er dermed gitt som

I_{P}(u_{2},u_{1})={1 \over 2}I_{0}|F(u_{2})-F(u_{1})|^{2}

etter at integrasjonen i y-retning er utført. Indeksene til argumentene i to Fresnel-integralene som opptrer her, representerer to punkt 1 og 2 på en Cornu-spiral. Absoluttverdien ΔF = |F(u₂) - F(u₁)| er nå avstanden mellom disse to punktene i det komplekse planet, mens Δu er buelengden langs spiralen mellom de samme to punktene.

For å finne hvordan intensiteten i punktet P varierer med dets posisjon i forhold til plasseringen av spalten, kan man variere koordinatene u₁ og u₂ . Når begge er store og positive, er man dypt inne i den klassiske skyggen, avstanden ΔF er liten og intensiteten omtrent lik med null. Ved å senke spalten, blir u₁ negativ og man er inne i det belyste området så lenge u₂ forblir positiv. Man har da en lignende variasjon av intensiteten som når man passerer en skarp kant. Et tilsvarende diffraksjonsbilde opptrer ved en videre senkning av spalten som gjør også u₂ negativ. Man går da igjen videre inn i den geometriske skyggen. For en tilstrekkelig bred spalte ser derfor det totale diffraksjonsbildet ut som kombinasjon av intensitetene fra to skarpe kanter med en gjensidig avstand som er lik med spaltens bredde.^[2]

Fraunhofer-grense

Denne fremstillingen av Fresnel-diffraksjon er basert på at den karakteristiske utstrekning ℓtil diffraktoren er mye mindre enn de typiske avstandene L til lyskilde og observatør. Men for en gitt verdi av ℓog bølgelengde λ vil Fresnel-tallet F = ℓ²/λ L avta med økende verdier av L og vil på den måten anta verdier F ≤ 1. Lysavbøyningen går da over til Fraunhofer-diffraksjon, og man vil ha et stabilt diffraksjonsbilde.^[3]

Overgangen til denne enklere form for diffraksjon kan illustreres ved å betrakte igjen en spalte med bredde D = x₂ - x₁ parallell med y-aksen. Den karakteristiske lengden ℓ er derfor gitt ved denne størrelsen. Enklest er det nå å anta at lyskilden er uendelig langt bort slik at avstanden a → ∞. Den karakteristiske størrelsen L er da gitt ved avstanden b mellom diffraktor og observatør, og det innfallende lyset er plane bølger. Setter man nå u = u₁ slik at

u={\sqrt {2 \over \lambda b}}\,x_{1},

vil u₂ = u + Δu. Intensiteten bak spalten følger dermed fra

I_{P}(u,\Delta u)={1 \over 2}I_{0}|F(u+\Delta u)-F(u)|^{2}

Her er nå

\Delta u={\sqrt {2 \over \lambda b}}\,D

og kan identifiseres med kvadratroten av Fresnel-tallet. Når avstanden b blir tilstrekkelig stor, blir Δu < 1 og man er i Fraunhofer-regimet. Hvis avbøyningsvinkelen θ = x₁/b << 1 skal forbli endelig i denne grensen, må x₁ også være tilstrekkelig stor slik at man kan betrakte u >> 1. De to punktene på Cornu-spiralen som inngår i intensiteten, ligger derfor langt fra origo. Dermed kan man benytte de asymptotiske verdiene for Fresnel-integralene til disse punktene. Det gir

{\begin{aligned}C(u+\Delta u)-C(u)&={1 \over \pi u}\left[\sin {\pi  \over 2}(u+\Delta u)^{2}-\sin {\pi  \over 2}u^{2}\right]\\&={2 \over \pi u}\sin {\pi u\Delta u \over 2}\,\cos {\pi u^{2} \over 2}\end{aligned}}

etter å ha brukt den trigonometriske identiteten $\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )=2\cos \alpha \sin \beta .$ På samme vis finner man

S(u+\Delta u)-S(u)={2 \over \pi u}\sin {\pi u\Delta u \over 2}\,\sin {\pi u^{2} \over 2}

fra den tilsvarende identiteten $\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )=-2\sin \alpha \sin \beta .$ Dermed kan den observerte intensiteten skrives som

I_{P}(u,\Delta u)={2I_{0} \over (\pi u)^{2}}\sin ^{2}{\pi u\Delta u \over 2}\

Ved innsettelse for u og Δu uttrykt ved spaltebredden D og avbøyningsvinkelen θ, går dette resultatet over til

I_{P}(D,\theta )=I_{0}{D^{2} \over \lambda b}{\sin ^{2}(\pi D\theta /\lambda ) \over (\pi D\theta /\lambda )^{2}}

Det stemmer helt med hva man finner ved en mer direkte beregning for Fraunhofer-diffraksjon fra en spalte. Faktoren som opptrer foran sammen med den innfallende intensiteten I₀, er Fresnel-tallet for denne situasjonen.

Referanser

^ ^a ^b ^c M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press, London (1965).
^ ^a ^b E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.
^ ^a ^b ^c J.M. Stone, Radiation and Optics, McGraw-Hill, New York (1963).
^ ^a ^b F.W. Sears, Optics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1975).

Eksterne lenker

PhysicsLibreTexts, Cornu's Spiral, med illustrative anvendelser.
A. Lüker, Fresnel Diffraction, også med historisk bakgrunn.
DoctorPhys, Fresnel Diffraction, YouTube video

[BW-1] M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press, London (1965).

[Hecht-2] E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.

[Stone-3] J.M. Stone, Radiation and Optics, McGraw-Hill, New York (1963).

[Sears-4] F.W. Sears, Optics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1975).

[1]

[2]

[3]

[4]