차단 주파수

물리학 및 전기공학에서 차단 주파수, 컷오프 주파수(cutoff frequency), 코너 주파수(corner frequency) 또는 브레이크 주파수(break frequency)는 시스템의 주파수 응답에서 시스템을 통해 흐르는 에너지가 통과하지 않고 줄어들기 (감쇠되거나 반사) 시작하는 경계이다.

일반적으로 필터 및 통신 채널과 같은 전자 시스템에서 차단 주파수는 저역통과, 고역통과, 대역통과 또는 대역저지 특성의 가장자리에 적용된다. 즉, 통과대역과 저지대역 사이의 경계를 특징짓는 주파수이다. 때때로 하프 파워 포인트 (회로의 출력이 공칭 통과대역 값의 약 -3.01 dB인 주파수)에 의해 정의된 바와 같이, 천이 대역과 통과대역이 만나는 지점으로 간주되기도 한다. 또는 저지대역 코너 주파수는 천이 대역과 저지대역이 만나는 지점으로 지정될 수 있다. 예를 들어 감쇠가 필요한 저지대역 감쇠보다 큰 주파수 (예: 30dB 또는 100dB)이다.

도파관 또는 안테나의 경우 차단 주파수는 하위 및 상위 차단 파장에 해당한다.

일렉트로닉스

일렉트로닉스에서 차단 주파수 또는 코너 주파수는 전화선, 증폭기 또는 전자 필터와 같은 전자 회로의 전력 출력이 통과대역의 전력에 대해 주어진 비율로 떨어지는 주파수이다. 이 비율은 통과대역 전력의 절반인 경우가 가장 많으며, 3dB 하락은 대략 절반 전력에 해당하므로 3dB 지점이라고도 한다. 전압 비율로는 통과대역 전압의 ${\textstyle {\sqrt {1/2}}\ \approx \ 0.707}$ 로 감소하는 것이다.^[1] 3dB 지점 외의 다른 비율도 관련이 있을 수 있다. 예를 들어 아래의 § 체비쇼프 필터를 참조하라. 천이 대역의 차단 주파수에서 멀리 떨어진 곳에서 주파수 로그에 대한 감쇠 증가율 (롤오프)은 상수에 점근적이다. 1차 네트워크의 경우 롤오프는 데카드당 -20dB (약 옥타브당 -6dB)이다.

단일 폴 전달 함수 예

가장 간단한 로우패스 필터의 전달 함수는 $H(s)={\frac {1}{1+\alpha s}},$ 극점이 s = −1/α 하나이다. jω 평면에서 이 함수의 크기는 $\left|H(j\omega )\right|=\left|{\frac {1}{1+\alpha j\omega }}\right|={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega ^{2}}}}.$

차단 지점에서 $\left|H(j\omega _{\mathrm {c} })\right|={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}}.$

따라서 차단 주파수는 다음과 같다. $\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\alpha }}.$

여기서 $s$ 는 s-평면 변수이고, ω는 각진동수이며, j는 허수 단위이다.

체비쇼프 필터

때때로 3dB 지점보다 다른 비율이 더 편리하다. 예를 들어 체비쇼프 필터의 경우, 차단 주파수를 주파수 응답에서 마지막 피크 이후 레벨이 통과대역 리플의 설계 값으로 떨어진 지점으로 정의하는 것이 일반적이다. 이 종류의 필터에서 리플의 양은 설계자가 원하는 값으로 설정할 수 있으므로 사용되는 비율은 어떤 값이든 될 수 있다.^[2]

무선 통신

무선 통신에서 공중파 통신은 전파를 하늘로 특정 각도로 전송하고 전리층의 하전 입자 층에 의해 지구로 반사시키는 기술이다. 이 맥락에서 차단 주파수라는 용어는 최대 사용 가능 주파수를 나타낸다. 이 주파수보다 높은 주파수에서는 전파가 두 지정된 지점 간의 송신에 필요한 입사각으로 전리층에서 반사되지 않는다.

도파관

전자기 도파관의 차단 주파수는 모드가 전파되는 가장 낮은 주파수이다. 광섬유에서는 광섬유 또는 도파관에서 전파될 최대 파장인 차단 파장을 고려하는 것이 더 일반적이다. 차단 주파수는 전자기파에 대한 헬름홀츠 방정식의 특성 방정식으로 구해지며, 이는 종방향 파수를 0으로 설정하고 주파수에 대해 풀어서 전자기파 방정식에서 파생된다. 따라서 차단 주파수보다 낮은 여기 주파수는 전파되지 않고 감쇠된다. 다음 유도는 손실 없는 벽을 가정한다. c 값 ( 빛의 속력 )은 도파관을 채우는 재료 내에서 빛의 군속도로 간주되어야 한다.

직사각형 도파관의 경우 차단 주파수는 다음과 같다. $\omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}}},$ 여기서 $m,n\geq 0$ 은 각각 길이 $a$ 와 $b$ 의 직사각형 변에 대한 모드 번호이다. TE 모드의 경우 $m,n\geq 0$ (단, $m=n=0$ 은 허용되지 않음), TM 모드의 경우 $m,n\geq 1$ 이다.

원형 단면 도파관에서 TM₀₁ 모드 (지배 모드 TE₁₁ 다음으로 높은 모드)의 차단 주파수 (각도 의존성이 없고 가장 낮은 반경 의존성을 갖는 횡자기 모드)는 다음과 같다. $\omega _{c}=c{\frac {\chi _{01}}{r}}=c{\frac {2.4048}{r}},$ 여기서 $r$ 은 도파관의 반경이고, $\chi _{01}$ 은 1차 베셀 함수 $J_{0}(r)$ 의 첫 번째 근이다.

지배 모드 TE₁₁ 차단 주파수는 다음과 같다.^[3] $\omega _{c}=c{\frac {\chi _{11}}{r}}=c{\frac {1.8412}{r}}$

그러나 지배 모드 차단 주파수는 원형 단면 도파관 내부에 배플을 도입하여 줄일 수 있다.^[4] 단일 모드 광섬유의 경우 차단 파장은 정규화된 주파수가 약 2.405와 같아지는 파장이다.

수학적 분석

시작점은 ( 맥스웰 방정식에서 파생된) 파동 방정식이다. $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0,$ 이것은 다음과 같은 형식의 함수만 고려함으로써 헬름홀츠 방정식이 된다. $\psi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)e^{i\omega t}.$ 시간 미분을 대입하고 평가하면 다음과 같다. $\left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0.$ 여기서 함수 $\psi$ 는 종방향에 벡터 성분이 없는 필드 (전기장 또는 자기장)를 나타낸다. 즉, "횡방향" 필드이다. 전자기 도파관의 모든 고유 모드의 특성은 두 필드 중 하나 이상이 횡방향이라는 것이다. z축은 도파관의 축을 따라 정의된다.

라플라시안에서 "종방향" 미분은 다음과 같은 형식의 함수만 고려함으로써 더욱 줄어들 수 있다. $\psi (x,y,z,t)=\psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z\right)},$ 여기서 $k_{z}$ 는 종방향 파수이며, 결과는 다음과 같다. $\left(\nabla _{T}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0,$ 여기서 아래첨자 T는 2차원 횡방향 라플라시안을 나타낸다. 마지막 단계는 도파관의 기하학에 따라 달라진다. 가장 쉬운 기하학적 해결 방법은 직사각형 도파관이다. 이 경우 라플라시안의 나머지 부분은 다음과 같은 형식의 해를 고려하여 특성 방정식으로 평가될 수 있다. $\psi (x,y,z,t)=\psi _{0}e^{i\left(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}y\right)}.$ 따라서 직사각형 도파관의 라플라시안이 평가되고, 다음을 얻는다. ${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}$ 횡방향 파수는 치수가 $a$ 와 $b$ 인 직사각형 단면에 대한 정상파 경계 조건에서 지정될 수 있다. $k_{x}={\frac {n\pi }{a}},$ $k_{y}={\frac {m\pi }{b}},$ 여기서 $n$ 과 $m$ 은 특정 고유 모드를 나타내는 두 정수이다. 마지막 대입을 수행하면 다음을 얻는다. ${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}+k_{z}^{2},$ 이는 직사각형 도파관의 분산 관계이다. 차단 주파수 $\omega _{c}$ 는 전파와 감쇠 사이의 임계 주파수이며, 종방향 파수 $k_{z}$ 가 0이 되는 주파수에 해당한다. 이는 다음과 같이 주어진다. $\omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}}$ 파동 방정식은 차단 주파수 아래에서도 유효하며, 이때 종방향 파수는 허수이다. 이 경우 필드는 도파관 축을 따라 지수적으로 감쇠하며, 파동은 소산파이다.

같이 보기

각주

↑ Van Valkenburg, M. E. (1974). 《Network Analysis》 3판. Prentice-Hall. 383–384쪽. ISBN 0-13-611095-9. 2008년 6월 22일에 확인함.
↑ Mathaei, Young, Jones Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, pp.85-86, McGraw-Hill 1964.
↑ Hunter, I. C. (2001). 《Theory and design of microwave filters》. Institution of Electrical Engineers. London: Institution of Electrical Engineers. 214쪽. ISBN 978-0-86341-253-0. OCLC 505848355.
↑ Modi, Anuj Y.; Balanis, Constantine A. (2016년 3월 1일). 《PEC-PMC Baffle Inside Circular Cross Section Waveguide for Reduction of Cut-Off Frequency》. 《IEEE Microwave and Wireless Components Letters》 26. 171–173쪽. doi:10.1109/LMWC.2016.2524529. ISSN 1531-1309. S2CID 9594124.

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외부 링크

[1] Van Valkenburg, M. E. (1974). 《Network Analysis》 3판. Prentice-Hall. 383–384쪽. ISBN 0-13-611095-9. 2008년 6월 22일에 확인함.

[2] Mathaei, Young, Jones Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, pp.85-86, McGraw-Hill 1964.

[3] Hunter, I. C. (2001). 《Theory and design of microwave filters》. Institution of Electrical Engineers. London: Institution of Electrical Engineers. 214쪽. ISBN 978-0-86341-253-0. OCLC 505848355.

[4] Modi, Anuj Y.; Balanis, Constantine A. (2016년 3월 1일). 《PEC-PMC Baffle Inside Circular Cross Section Waveguide for Reduction of Cut-Off Frequency》. 《IEEE Microwave and Wireless Components Letters》 26. 171–173쪽. doi:10.1109/LMWC.2016.2524529. ISSN 1531-1309. S2CID 9594124.

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