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위상수학 과 해석학 에서 연속 함수 (連續函數, 문화어 :영어 : continuous function, continuous map )는 정의역 의 점의 ‘작은 변화’에 대하여, 치역 의 값 역시 작게 변화하는 함수 이다. 즉, 변수가 연속적으로 변할 때 함숫값도 연속적으로 변하는 함수 이다. 이는 함숫값에 갑작스러운 변화가 생기지 않는다는 것을 의미한다. 더 정확하게는, 임의의 작은 함숫값의 변화에 대해, 충분히 작은 범위 안에 있는 변수의 함숫값이 그 변화보다 작도록 할 수 있을 때 함수가 연속이라고 한다. 예를 들어 성장하는 중인 나무의 특정 시각
t
{\displaystyle t}
H
(
t
)
{\displaystyle H(t)}
H
{\displaystyle H}
t
{\displaystyle t}
M
(
t
)
{\displaystyle M(t)}
M
{\displaystyle M}
엡실론-델타 논법 을 사용하여 연속을 엄밀하게 정의하였다.
연속 함수는 실수 집합 또는 복소수 집합 사이의 함수에 대하여 정의할 수 있으며, 보다 일반적으로 임의의 거리 공간 또는 위상 공간 사이의 연속 함수를 정의할 수 있다. 두 집합 사이의 함수 가운데 어떤 것들이 연속 함수인지는 집합 위에 정의된 위상에 따라 다르다. 이를테면, 스콧 연속 함수 는 스콧 위상 을 부여한 원순서 집합 사이의 연속 함수를 일컫는다. 다른 한편, 정의역이나 공역의 거리 구조를 바꾸더라도 위상이 변하지 않는다면 연속 함수의 개념은 변하지 않는다.
연속 함수 조건의 더 강한 형태로는 균등 연속 함수 나 립시츠 연속 함수 따위가 있다. 다만, 이 조건들을 정의하려면 위상 공간 구조만으로는 부족하다. 균등 연속 함수 의 정의역과 공역은 적어도 균등 공간 구조를 갖추어야 하며, 립시츠 연속 함수 가 정의되기 위해서는 거리 공간 구조가 필요하다.
점
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
V 에 대하여,
f
(
U
)
⊆
V
{\displaystyle f(U)\subseteq V}
x
{\displaystyle x}
U 가 존재한다. 위상 공간
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
동치 이다. 이 조건을 만족시키는
f
{\displaystyle f}
점
x
{\displaystyle x}
(continuous at the point
x
{\displaystyle x}
)이라고 한다.
임의의
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
근방
V
∋
f
(
x
)
{\displaystyle V\ni f(x)}
f
(
U
)
⊆
V
{\displaystyle f(U)\subseteq V}
x
{\displaystyle x}
근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
임의의 그물
x
α
∈
X
{\displaystyle x_{\alpha }\in X}
x
α
→
x
{\displaystyle x_{\alpha }\to x}
f
(
x
α
)
→
f
(
x
)
{\displaystyle f(x_{\alpha })\to f(x)}
lim
x
′
→
x
f
(
x
′
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x'\to x}f(x')=f(x)}
lim
x
′
→
x
{\displaystyle \lim _{x'\to x}}
함수의 극한 이다.위상 공간
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
동치 이며, 이를 만족시키는 함수를 연속 함수 라고 한다.
임의의 열린집합
U
⊆
Y
{\displaystyle U\subseteq Y}
원상
f
−
1
(
U
)
⊆
X
{\displaystyle f^{-1}(U)\subseteq X}
열린집합 이다.
임의의 닫힌집합
C
⊆
Y
{\displaystyle C\subseteq Y}
원상
f
−
1
(
C
)
⊆
X
{\displaystyle f^{-1}(C)\subseteq X}
닫힌집합 이다.
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
임의의 부분 집합
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
f
(
cl
(
A
)
)
⊆
cl
(
f
(
A
)
)
{\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}
cl
{\displaystyle \operatorname {cl} }
폐포 를 일컫는다.
임의의 부분 집합
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
cl
(
f
−
1
(
B
)
)
⊆
f
−
1
(
cl
B
)
{\displaystyle \operatorname {cl} (f^{-1}(B))\subseteq f^{-1}(\operatorname {cl} B)}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
f
{\displaystyle f}
점렬 연속 함수 (點列連續函數, 영어 : sequentially continuous function )라고 한다.
임의의 점렬
x
i
∈
X
{\displaystyle x_{i}\in X}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
x
i
→
x
{\displaystyle x_{i}\to x}
f
(
x
i
)
→
f
(
x
)
{\displaystyle f(x_{i})\to f(x)}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g\colon Y\to Z}
합성
g
∘
f
:
X
→
Z
{\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}
역시 연속 함수이다.
연속 전단사 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
역함수
f
−
1
:
Y
→
X
{\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}
X
{\displaystyle X}
콤팩트 공간 이며,
Y
{\displaystyle Y}
하우스도르프 공간 이라면,
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
전단사 함수 는 위상 동형 사상 과 동치 이다. 이는 콤팩트 공간
X
{\displaystyle X}
하우스도르프 공간
Y
{\displaystyle Y}
닫힌 함수 이기 때문이다.
두 위상 공간
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
만약
X
{\displaystyle X}
콤팩트 공간 이라면,
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
콤팩트 공간 이다.
만약
X
{\displaystyle X}
연결 공간 이라면,
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
연결 공간 이다.
만약
X
{\displaystyle X}
경로 연결 공간 이라면,
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
경로 연결 공간 이다. 임의의 두 위상 공간
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
제1 가산 공간 이라면,
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
동치 이다.
집합
X
{\displaystyle X}
위상 공간 들의 족
(
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
위상 공간
Z
{\displaystyle Z}
g
:
Z
→
X
{\displaystyle g\colon Z\to X}
동치 이다.
X
{\displaystyle X}
f
i
{\displaystyle f_{i}}
시작 위상 을 부여하였을 때,
g
{\displaystyle g}
임의의
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
f
i
∘
g
{\displaystyle f_{i}\circ g}
특히, 곱공간 을 공역으로 하는 함수가 연속 함수일 필요충분조건은 성분별로 연속 함수인 것이다. 마찬가지로, 끝 위상 과 몫공간 에 대해서도 유사한 명제가 성립한다.
균등 공간 사이에서, 모든 균등 연속 함수 는 연속 함수이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 정의역이 콤팩트 균등 공간 인 경우, 연속성은 균등 연속성과 동치 이다 (하이네-칸토어 정리 ).
두 거리 공간
(
X
,
d
X
)
{\displaystyle (X,d_{X})}
(
Y
,
d
Y
)
{\displaystyle (Y,d_{Y})}
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
동치 이다.
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
ϵ
>
0
{\displaystyle \delta _{\epsilon }>0}
임의의
x
′
∈
X
{\displaystyle x'\in X}
d
X
(
x
,
x
′
)
<
δ
ϵ
{\displaystyle d_{X}(x,x')<\delta _{\epsilon }}
d
Y
(
f
(
x
)
,
f
(
x
′
)
)
<
ϵ
{\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))<\epsilon }
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
점렬
x
i
∈
X
{\displaystyle x_{i}\in X}
x
i
→
x
{\displaystyle x_{i}\to x}
f
(
x
i
)
→
f
(
x
)
{\displaystyle f(x_{i})\to f(x)}
거리 공간 사이에서, 모든 립시츠 연속 함수 는 균등 연속 함수 이며, 따라서 연속 함수이다.
임의의 위상 공간
X
{\displaystyle X}
f
,
g
:
X
→
R
{\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {R} }
에 대하여, 다음이 성립한다.
f
+
g
:
X
→
R
{\displaystyle f+g\colon X\to \mathbb {R} }
f
g
:
X
→
R
{\displaystyle fg\colon X\to \mathbb {R} }
상수 함수 는 연속 함수이므로, 만약
g
{\displaystyle g}
r
{\displaystyle r}
r
f
:
X
→
R
{\displaystyle rf\colon X\to \mathbb {R} }
r
=
−
1
{\displaystyle r=-1}
−
f
:
X
→
R
{\displaystyle -f\colon X\to \mathbb {R} }
만약 모든
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f(x)\neq 0}
1
/
f
{\displaystyle 1/f}
어떤 구간
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
위상 공간
Y
{\displaystyle Y}
함수
f
:
I
→
Y
{\displaystyle f\colon I\to Y}
실수
r
∈
I
{\displaystyle r\in I}
만약
lim
x
→
r
+
f
(
x
)
=
f
(
r
)
{\displaystyle \lim _{x\to r^{+}}f(x)=f(r)}
f
{\displaystyle f}
r
{\displaystyle r}
우연속 (영어 : right-continuous )이다.
만약
lim
x
→
r
−
f
(
x
)
=
f
(
r
)
{\displaystyle \lim _{x\to r^{-}}f(x)=f(r)}
f
{\displaystyle f}
r
{\displaystyle r}
좌연속 (영어 : left-continuous )이다. 실수 구간
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
위상 공간
Y
{\displaystyle Y}
f
:
I
→
Y
{\displaystyle f\colon I\to Y}
r
∈
I
{\displaystyle r\in I}
동치 이다.
f
{\displaystyle f}
r
{\displaystyle r}
f
{\displaystyle f}
r
{\displaystyle r}
함수
x
↦
1
/
x
{\displaystyle x\mapsto 1/x}
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}
0
↦
0
{\displaystyle 0\mapsto 0}
0
↦
∞
{\displaystyle 0\mapsto \infty }
복소평면 에서 리만 구 로 가는 유리형 함수 로 확장할 수 있다. 이는 이 함수를 복소함수로 보았을 때, 0은 위수 가 1인 극점이고, 유한한 주부분을 가진 로랑 급수 가 특이점 주변에서 정의될 수 있기 때문이다. 실수선에 표준적인 위상을 정의하였을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다.
모든 다항식
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
지수 함수
exp
:
R
→
R
{\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
사인
sin
:
R
→
R
{\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
코사인
cos
:
R
→
R
{\displaystyle \cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
절댓값
|
⋅
|
:
R
→
R
{\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
다음 함수는 연속 함수가 아니다.
부호 함수
sgn
:
x
↦
{
1
x
>
0
0
x
=
0
−
1
x
<
0
{\displaystyle \operatorname {sgn} \colon x\mapsto {\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}}
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