방사형 분포 함수

$g(r)$의 계산

$\textstyle T^{*}=0.71,\;n^{*}=0.844$에서 레너드-존스 모델 유체에 대한 방사형 분포 함수.

통계역학에서, 방사형 분포 함수(영어: Radial distribution function 또는 쌍 상관 함수(영어: pair correlation function)) $g(r)$는 입자 시스템(원자, 분자, 콜로이드 등)에서 기준 입자로부터의 거리에 따라 밀도가 어떻게 변하는지를 설명한다.

주어진 입자가 원점 O에 있다고 가정하고, $\rho =N/V$가 입자의 평균 수밀도인 경우, O로부터 거리 $r$에서의 국부적인 시간 평균 밀도는 $\rho g(r)$이다. 이 단순화된 정의는 균일하고 등방성인 시스템에 적용된다. 더 일반적인 경우는 아래에서 고려될 것이다.

가장 간단한 용어로, 이는 주어진 기준 입자로부터 $r$만큼 떨어진 거리에 입자가 존재할 확률을 이상 기체에 대한 확률과 비교하여 측정한 것이다. 일반적인 알고리즘은 입자로부터 $r$과 $r+dr$ 거리 내에 있는 입자의 수를 결정하는 것을 포함한다. 이 일반적인 개념은 오른쪽에 묘사되어 있으며, 여기서 빨간색 입자는 기준 입자이고, 파란색 입자는 중심이 주황색 점선으로 표시된 원형 껍질 내에 있는 입자이다.

방사형 분포 함수는 일반적으로 모든 입자 쌍 사이의 거리를 계산하고 히스토그램으로 분류하여 결정된다. 그런 다음 히스토그램은 입자 히스토그램이 완전히 상관되지 않는 이상 기체에 대해 정규화된다. 3차원의 경우, 이 정규화는 시스템의 수밀도 $(\rho )$에 구형 껍질의 부피를 곱한 것으로, 기호로 $\rho \,4\pi r^{2}dr$로 표현할 수 있다.

주어진 위치 에너지 함수에 대해, 방사형 분포 함수는 몬테카를로 방법과 같은 컴퓨터 시뮬레이션 방법을 통해 계산하거나, 퍼커스-예빅 근사법 또는 초망상사슬 이론과 같은 근사 폐쇄 관계를 사용하여 오르슈타인-체르니케 방정식을 통해 계산할 수 있다. 또한 방사선 산란 기술이나 전통적 또는 공초점 현미경을 통한 충분히 큰(마이크로미터 크기의) 입자의 직접 시각화를 통해 실험적으로도 결정할 수 있다.

방사형 분포 함수는 커크우드-버프 용액 이론을 사용하여 미시적 세부 사항을 거시적 속성과 연결할 수 있기 때문에 근본적으로 중요하다. 또한, 커크우드-버프 이론의 역을 통해 거시적 속성으로부터 방사형 분포 함수의 미시적 세부 사항을 얻을 수 있다. 방사형 분포 함수는 오르슈타인-체르니케 방정식 또는 구조 최적화 퍼텐셜 정제를 사용하여 퍼텐셜 에너지 함수를 예측하도록 역변환될 수도 있다.

정의

부피 $V$에 $N$개의 입자(평균 개수밀도 $\rho =N/V$ 및 온도 $T$에서 (또한 $\textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}$로 정의하자; $k$는 볼츠만 상수이다)로 구성된 시스템을 고려하자. 입자 좌표는 $\mathbf {r} _{i}$이며, $\textstyle i=1,\,\ldots ,\,N$이다. 입자 간 상호작용으로 인한 위치 에너지는 $\textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N})$이며 외부 인가장 필드의 경우는 고려하지 않는다.

적절한 앙상블 평균은 바른틀 앙상블 $(N,V,T)$에서 취해지며, $\textstyle Z_{N}=\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}$는 입자 위치의 모든 가능한 조합에 대해 취해진 배열 적분이다. 입자 1이 $\textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}$에, 입자 2가 $\textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$에, 등등으로 발견될 기본 배열의 확률은 다음으로 주어진다.

$P^{(N)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}}{Z_{N}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}\,$.

(1)

총 입자 수가 매우 많기 때문에 $P^{(N)}$ 그 자체로는 그다지 유용하지 않다. 그러나 $n<N$개의 입자 위치만 $\textstyle \mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n}$에 고정되고 나머지 $N-n$개의 입자에는 제약이 없는 축소된 배열의 확률을 얻을 수도 있다. 이를 위해 (1)을 나머지 좌표 $\mathbf {r} _{n+1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$에 대해 적분해야 한다.

$P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})={\frac {1}{Z_{N}}}\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{n+1}\cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}\,$.

입자들이 상호작용하지 않아 각 입자의 위치 에너지가 다른 어떤 입자에도 의존하지 않는 경우 ${\textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\sum _{i=1}^{N}U_{1}(\mathbf {r} _{i})}$라면 분배 함수는 인수분해되고 기본 배열의 확률은 독립적인 인수를 가진 단일 입자 확률의 곱으로 분해된다. $${\begin{aligned}Z_{N}&=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}e^{-\beta U_{1}}=Z_{1}^{N}\\P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&=P^{(1)}(\mathbf {r} _{1})\cdots P^{(1)}(\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}$$

상호작용하지 않는 입자의 경우 확률이 인수에 대해 대칭임을 주목하라. 이는 일반적으로 사실이 아니며, $P^{(n)}$의 인수 슬롯을 위치가 차지하는 순서는 중요하다. 주어진 위치 집합에 대해 $N$개의 입자가 이 위치들을 차지할 수 있는 방법은 $N!$이다. 이 위치들이 차지될 확률은 각 위치에 입자가 있는 모든 배열을 합산하여 찾을 수 있다. 이는 $N$개 객체에 대한 대칭군 (군론) $S_{N}$의 모든 순열 $\pi$을 취하여 ${\textstyle \sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})}$로 쓸 수 있다. 더 적은 위치의 경우, 불필요한 인수에 대해 적분하고 과다 계산을 방지하기 위한 보정 계수를 포함한다. $${\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {1}{(N-n)!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right)\sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})\\\end{aligned}}$$이 양을 n-입자 밀도 함수라고 한다. 구별 불가능한 입자의 경우, 모든 입자 위치를 $\forall i,\mathbf {r} _{i}\rightarrow \mathbf {r} _{\pi (i)}$로 순열할 수 있으며, 기본 배열의 확률 $P(\mathbf {r} _{\pi (1)},\dots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})=P(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})$은 변하지 않으므로 n-입자 밀도 함수는 다음으로 줄어든다. $${\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}$$n-입자 밀도를 적분하면 총 $N$개의 입자 중 $n$개의 위치에 순차적으로 입자를 배치하는 방법의 수를 세는 순열 인수 $_{N}P_{n}$가 주어진다. 이제 이 함수를 $n$의 다른 값에 대해 어떻게 해석하는지 살펴보자.

$n=1$인 경우, 1-입자 밀도를 갖는다. 결정의 경우, 이는 격자 위치에서 날카로운 최대값을 갖는 주기 함수이다. 비상호작용 기체의 경우, 이는 위치 $\textstyle \mathbf {r} _{1}$에 독립적이며 시스템의 전체 수밀도 $\rho$와 같다. 이를 확인하려면 먼저 기체가 차지하는 부피 내에서는 $U_{N}=\infty$이고 다른 모든 곳에서는 0임을 주목한다. 이 경우의 분배 함수는

$Z_{N}=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\ 1=V^{N}$

정의에서 원하는 결과가 나온다.

$\rho ^{(1)}(\mathbf {r} )={\frac {N!}{(N-1)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=2}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1={\frac {N}{V}}=\rho .$

사실, 이 특별한 경우 모든 n-입자 밀도는 좌표와 독립적이며 명시적으로 계산할 수 있다. $${\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1\\&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{n}}}\end{aligned}}$$$N\gg n$일 때, 비상호작용 n-입자 밀도는 대략 $\rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\left(1-n(n-1)/2N+\cdots \right)\rho ^{n}\approx \rho ^{n}$이다. 이를 바탕으로, n-점 상관 함수 $g^{(n)}$은 비상호작용 기여도를 분리하여 정의된다. $$\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})=\rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})$$명시적으로 이 정의는 다음과 같다. $${\begin{aligned}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})&={\frac {V^{N}}{N!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}{\frac {1}{V}}\!\!\int \!\!\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right){\frac {1}{Z_{N}}}\sum _{\pi \in S_{N}}e^{-\beta U(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\,\mathbf {r} _{\pi (N)})}\end{aligned}}$$여기서 n-점 상관 함수는 무차원임을 알 수 있다.

g(r) 관련 관계

구조 인자

2차 상관 함수 $g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})$는 특별히 중요한데, 이는 시스템의 구조 인자와 직접적으로 관련되어 있으며 (푸리에 변환을 통해) 따라서 엑스선 회절 또는 중성자 회절을 사용하여 실험적으로 결정할 수 있기 때문이다.

시스템이 구형 대칭 입자로 구성된 경우, $g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})$는 그들 사이의 상대 거리 $\mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}$에만 의존한다. 아래첨자와 위첨자는 생략할 것이다: $\textstyle g(\mathbf {r} )\equiv g^{(2)}(\mathbf {r} _{12})$. 입자 0을 좌표의 원점에 고정된 것으로 취하면, $\textstyle \rho g(\mathbf {r} )d^{3}r=\mathrm {d} n(\mathbf {r} )$은 (나머지 $N-1$개 중에서) 위치 $\textstyle \mathbf {r}$ 주변의 부피 $\textstyle d^{3}r$에서 발견될 입자의 평균 수이다.

이러한 입자를 형식적으로 세고 앙상블 평균 $\textstyle \langle \cdot \rangle$을 취하여 다음 표현을 통해 평균을 구할 수 있다. $\textstyle {\frac {\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}{d^{3}r}}=\langle \sum _{i\neq 0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\rangle$:

$g(\mathbf {r} )={\frac {1}{\rho }}\langle \sum _{i\neq 0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\rangle =V{\frac {N-1}{N}}\left\langle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})\right\rangle$

(5)

여기서 두 번째 등식은 입자 $\textstyle 1,\,\ldots ,\,N-1$의 동등성을 요구한다. 위 공식은 $g(\mathbf {r} )$와 $\textstyle S(\mathbf {q} )=\langle \sum _{ij}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle /N$로 정의되는 정적 구조 인자 $S(\mathbf {q} )$를 관련시키는 데 유용하다. 왜냐하면 다음이 성립하기 때문이다.

${\begin{aligned}S(\mathbf {q} )&=1+{\frac {1}{N}}\langle \sum _{i\neq j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle =1+{\frac {1}{N}}\left\langle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\sum _{i\neq j}\delta \left[\mathbf {r} -(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\right]\right\rangle \\&=1+{\frac {N(N-1)}{N}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\left\langle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})\right\rangle ,\end{aligned}}$

따라서:

$S(\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }g(\mathbf {r} )$, 위에서 언급한 푸리에 관계를 증명한다.

이 방정식은 분포의 의미에서만 유효하다. 왜냐하면 $g(\mathbf {r} )$는 정규화되지 않았기 때문이다. $\textstyle \lim _{r\rightarrow \infty }g(\mathbf {r} )=1$이므로, $\textstyle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} g(\mathbf {r} )$는 부피 $V$에 따라 발산하며, 이는 구조 인자에서 원점에 디락 피크를 유발한다. 이 기여는 실험적으로 접근할 수 없으므로 위 방정식에서 이를 빼고 구조 인자를 정규 함수로 재정의할 수 있다.

$S'(\mathbf {q} )=S(\mathbf {q} )-\rho \delta (\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }[g(\mathbf {r} )-1]$.

마지막으로, $S(\mathbf {q} )\equiv S'(\mathbf {q} )$로 이름을 변경하고, 시스템이 액체인 경우 등방성을 적용할 수 있다.

$S(q)=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }[g(r)-1]=1+4\pi \rho {\frac {1}{q}}\int \mathrm {d} r\,r\,\mathrm {sin} (qr)[g(r)-1]$.

(6)

압축률 방정식

(6)을 $q=0$으로 평가하고 등온 압축률 $\textstyle \chi _{T}$와 원점에서의 구조 인자 사이의 관계를 사용하면 압축률 방정식이 도출된다.

$\rho kT\chi _{T}=kT\left({\frac {\partial \rho }{\partial p}}\right)=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,[g(r)-1]$.

(7)

평균 힘의 퍼텐셜

방사형 분포 함수가 두 입자 평균 힘의 퍼텐셜 $w^{(2)}(r)$과 다음 관계를 가짐을 보일 수 있다.

$g(r)=\exp \left[-{\frac {w^{(2)}(r)}{kT}}\right]$.

(8)

희석 한계에서, 평균 힘의 퍼텐셜은 평형점 배열이 주어진 $g(r)$을 가질 때의 정확한 쌍 퍼텐셜이다.

에너지 방정식

입자들이 동일한 쌍별 퍼텐셜을 통해 상호작용하는 경우: $\textstyle U_{N}=\sum _{i>j=1}^{N}u(\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|)$, 입자당 평균 내부 에너지는 다음과 같다.^{:Section 2.5}

${\frac {\left\langle E\right\rangle }{N}}={\frac {3}{2}}kT+{\frac {\left\langle U_{N}\right\rangle }{N}}={\frac {3}{2}}kT+{\frac {\rho }{2}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,u(r)g(r,\rho ,T)$.

(9)

압력 상태 방정식

비리얼 방정식을 전개하면 압력 상태 방정식이 나온다.

$p=\rho kT-{\frac {\rho ^{2}}{6}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,rg(r,\rho ,T){\frac {\mathrm {d} u(r)}{\mathrm {d} r}}$.

(10)

3차원에서의 열역학적 특성

방사형 분포 함수는 퍼텐셜 에너지 및 압력과 같은 몇 가지 주요 열역학적 특성을 계산할 수 있기 때문에 중요한 측정값이다.

입자가 쌍별 퍼텐셜을 통해 상호작용하는 3차원 시스템의 경우, 시스템의 퍼텐셜 에너지는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$PE={\frac {N}{2}}4\pi \rho \int _{0}^{\infty }r^{2}u(r)g(r)dr,$

여기서 N은 시스템의 입자 수, $\rho$는 수밀도, $u(r)$는 쌍 퍼텐셜이다.

시스템의 압력은 2차 비리얼 계수를 $g(r)$와 관련시켜 계산할 수도 있다. 압력은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$P=\rho kT-{\frac {2}{3}}\pi \rho ^{2}\int _{0}^{\infty }dr{\frac {du(r)}{dr}}r^{3}g(r)$.

퍼텐셜 에너지와 압력의 결과는 $g(r)$ 계산에 포함된 평균화로 인해 이러한 속성을 직접 계산하는 것만큼 정확하지 않을 수 있음을 주목하라.

근사

희박한 시스템(예: 기체)의 경우, $g(r)$이 설명하는 입자 위치의 상관 관계는 기준 입자에 의해 발생하는 퍼텐셜 $u(r)$에만 기인하며, 간접적인 효과는 무시한다. 첫 번째 근사에서는 볼츠만 분포 법칙에 의해 간단히 주어진다.

$g(r)=\exp \left[-{\frac {u(r)}{kT}}\right]$.

(11)

만약 $u(r)$이 모든 $r$에 대해 0이라면, 즉 입자들이 서로 아무런 영향을 미치지 않는다면, 모든 $\mathbf {r}$에 대해 $g(r)=1$이 되고 평균 국부 밀도는 평균 밀도 $\rho$와 같아질 것이다. O에 입자가 존재해도 그 주변의 입자 분포에 영향을 미치지 않으며 기체는 이상적일 것이다. $u(r)$이 유의미한 거리 $r$에서는 평균 국부 밀도가 평균 밀도 $\rho$와 달라지며, 이는 $u(r)$의 부호에 따라 달라진다(음의 상호작용 에너지는 더 높고 양의 $u(r)$은 더 낮다).

기체의 밀도가 증가함에 따라 저밀도 한계는 점점 덜 정확해진다. 왜냐하면 $\mathbf {r}$에 위치한 입자는 O의 입자와의 상호작용뿐만 아니라 다른 이웃과의 상호작용도 겪으며, 이웃 자체도 기준 입자의 영향을 받기 때문이다. 이 매개된 상호작용은 밀도에 따라 증가한다. 왜냐하면 상호작용할 이웃이 더 많기 때문이다. $g(r)$의 밀도 전개를 쓰는 것은 물리적으로 합리적이며, 이는 비리얼 방정식과 유사하다.

$g(r)=\exp \left[-{\frac {u(r)}{kT}}\right]y(r)\quad \mathrm {with} \quad y(r)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\rho ^{n}y_{n}(r)$.

(12)

이 유사성은 우연이 아니다. 실제로, (12)를 위 열역학적 매개변수 관계(식 7, 9, 10)에 대입하면 해당 비리얼 전개가 얻어진다. 보조 함수 $y(r)$는 공동 분포 함수로 알려져 있다.^{:Table 4.1} 고정된 밀도와 고정된 양의 온도에서 고전 유체의 경우, 평형 상태에서 주어진 $g(r)$을 생성하는 유효 쌍 퍼텐셜은 만약 존재한다면 가산 상수에 대해 유일함이 입증되었다.

최근 몇 년 동안, 격자나 네트워크와 같은 공간적으로 이산적인 데이터에 대한 쌍 상관 함수를 개발하는 데 일부 관심이 주어졌다.

실험

중성자 산란 또는 엑스선 산란 데이터를 사용하여 $g(r)$을 간접적으로 (구조 인자 $S(q)$와의 관계를 통해) 결정할 수 있다. 이 기술은 매우 짧은 길이 스케일(원자 수준까지)에서도 사용할 수 있지만, 상당한 공간 및 시간 평균(각각 샘플 크기와 획득 시간에 걸쳐)을 포함한다. 이러한 방식으로, 방사형 분포 함수는 액체 금속부터 전하 콜로이드에 이르는 다양한 시스템에 대해 결정되었다. 실험적인 $S(q)$에서 $g(r)$로 가는 것은 간단하지 않으며, 분석이 상당히 복잡할 수 있다.

$g(r)$은 전통적 또는 공초점 현미경에서 입자 위치를 추출하여 직접 계산할 수도 있다. 이 기술은 광학 감지에 충분히 큰 입자(마이크로미터 범위)로 제한되지만, 시간 분해능을 가지고 있어 통계 정보 외에도 동적 매개변수(예: 확산 상수)에 접근할 수 있게 하며, 공간 분해능(개별 입자 수준까지)도 제공하여 콜로이드 결정, 유리, 겔, 그리고 유체역학적 상호작용에서 국부 구조의 형태와 역학을 밝힐 수 있다.

2D 분자 기체의 경우 주사 터널링 현미경을 통해 완전한 (거리 의존적 및 각도 의존적) 쌍 상관 함수의 직접적인 시각화가 이루어졌다.

고차 상관 함수

방사형 분포 함수만으로는 구조 정보를 특성화하기에 불충분하다는 점이 지적되었다. 서로 다른 점 과정은 동일하거나 실질적으로 구별할 수 없는 방사형 분포 함수를 가질 수 있는데, 이를 퇴화 문제(degeneracy problem)라고 한다. 이러한 경우, 구조를 더 자세히 설명하기 위해 고차 상관 함수가 필요하다.

$\textstyle k>2$인 고차 분포 함수 $\textstyle g^{(k)}$는 시스템의 열역학에 덜 중요하며, 동시에 기존의 산란 기술로는 접근할 수 없기 때문에 덜 연구되었다. 그러나 코히어런트 엑스선 산란을 통해 측정할 수 있으며, 무질서한 시스템의 국부 대칭을 밝힐 수 있다는 점에서 흥미롭다.

같이 보기

• 오르슈타인-체르니케 방정식
• 구조 인자

각주

• Widom, B. (2002). Statistical Mechanics: A Concise Introduction for Chemists. Cambridge University Press.
• McQuarrie, D. A. (1976). Statistical Mechanics. HarperCollins Publishers.