수학 에서, 단순 연분수 (영어 : simple continued fraction ) 또는 정칙 연분수 (영어 : regular continued fraction )는 다음과 같은 꼴의 분수 를 뜻한다.
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
1
⋱
{\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}
여기서
a
0
{\displaystyle a_{0}}
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }
모든 단순 연분수는 유일한 실수를 나타내며, 모든 실수는 본질적으로 유일한 단순 연분수 전개를 갖는다. 실수의 단순 연분수 전개가 유한할 필요충분조건 은 유리수 인 것이다. 실수의 단순 연분수 전개가 순환일 필요충분조건 은 2차 대수적 수 인 것이다. 실수
x
{\displaystyle x}
필요충분조건 은
x
{\displaystyle x}
x
>
1
{\displaystyle x>1}
x
{\displaystyle x}
Q
(
x
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (x)}
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
−
1
<
x
¯
<
0
{\displaystyle -1<{\bar {x}}<0}
단순 연분수의 이론과 방법은 실수의 유리수 근사와 펠 방정식 의 풀이 등에 사용된다.
단순 연분수를 이루는 수열의 선택은 임의적이며, 실수의 단순 연분수 전개의 근사분수들은 최적 유리 근사를 통해 특징지을 수 있다. 이는 일반적인 연분수가 지니지 않는 좋은 성질이다. 예를 들어, 대각 연분수 는 일부 수열에 대하여 정의되지 않으며, 최근 정수 연분수 의 근사분수들은 간단하게 특징지을 수 없다.[ 1] :16, Notes, §2
정수
a
0
∈
Z
{\displaystyle a_{0}\in \mathbb {Z} }
a
1
,
…
,
a
n
∈
Z
+
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {Z} ^{+}}
유한 단순 연분수 (영어 : finite simple continued fraction )는 다음과 같다.
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
]
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
⋱
+
1
a
n
{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}
정수
a
0
∈
Z
{\displaystyle a_{0}\in \mathbb {Z} }
a
1
,
a
2
,
⋯
∈
Z
+
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {Z} ^{+}}
무한 단순 연분수 (영어 : finite simple continued fraction )는 다음과 같은 형식적인 식이다.
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
]
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
1
⋱
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}
만약 이 무한 단순 연분수의 유한한 절단
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]}
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]}
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
]
=
lim
n
→
∞
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]}
양의 정수
k
{\displaystyle k}
주기
k
{\displaystyle k}
순환 단순 연분수 (영어 : periodic simple continued fraction )는 다음과 같은 꼴의 무한 단순 연분수이다.
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
,
…
,
a
n
+
k
−
1
,
a
n
,
…
,
a
n
+
k
−
1
,
…
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n},\dots ,a_{n+k-1},a_{n},\dots ,a_{n+k-1},\dots ]}
주기
k
{\displaystyle k}
순순환 단순 연분수 (영어 : purely periodic simple continued fraction )는 다음과 같은 꼴의 순환 단순 연분수이다.
[
a
0
;
…
,
a
k
−
1
,
a
0
,
…
,
a
k
−
1
,
…
]
{\displaystyle [a_{0};\dots ,a_{k-1},a_{0},\dots ,a_{k-1},\dots ]}
순환 단순 연분수의 최소 주기를 줄여서 주기라고 한다.
유한 또는 무한 단순 연분수
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}
n
{\displaystyle n}
근사분수 (convergent )는
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]}
를 뜻한다. 이는 다음과 같은 점화식을 통해 정의할 수도 있다.
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
]
=
h
n
/
k
n
{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]=h_{n}/k_{n}}
h
−
2
=
0
{\displaystyle h_{-2}=0}
h
−
1
=
1
{\displaystyle h_{-1}=1}
h
n
=
a
n
h
n
−
1
+
h
n
−
2
{\displaystyle h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}
k
−
2
=
1
{\displaystyle k_{-2}=1}
k
−
1
=
0
{\displaystyle k_{-1}=0}
k
n
=
a
n
k
n
−
1
+
k
n
−
2
{\displaystyle k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}
이 경우
h
n
{\displaystyle h_{n}}
k
n
{\displaystyle k_{n}}
서로소 정수쌍 이다.
유한 또는 무한 단순 연분수
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}
반근사분수 (semiconvergent )들은 다음과 같은 꼴의 분수들을 뜻한다.
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
,
a
]
=
(
h
n
−
1
+
a
h
n
)
/
(
k
n
−
1
+
a
k
n
)
(
n
∈
Z
+
,
0
≤
a
≤
a
n
+
1
)
{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n},a]=(h_{n-1}+ah_{n})/(k_{n-1}+ak_{n})\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+},\;0\leq a\leq a_{n+1})}
그 밖에도, 유한 또는 무한 단순 연분수
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}
n
{\displaystyle n}
부분몫 (partial quotient ):
a
n
{\displaystyle a_{n}}
n
{\displaystyle n}
완전몫 (complete quotient ):
[
a
n
;
a
n
+
1
,
a
n
+
2
,
…
]
{\displaystyle [a_{n};a_{n+1},a_{n+2},\dots ]}
모든 유한 단순 연분수는 유리수 이다. 반대로 모든 유리수 는 정확히 두 가지 유한 단순 연분수로 나타내어지며, 이는 다음과 같은 꼴이다.
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]}
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
−
1
,
1
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}-1,1]}
유리수의 단순 연분수 전개는 유클리드 호제법 을 사용하여 다음과 같이 구할 수 있다. 유리수
r
/
s
{\displaystyle r/s}
r
∈
Z
{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }
s
∈
Z
+
{\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}
유클리드 호제법 에 따라
r
0
=
r
r
1
=
s
r
0
=
a
0
r
1
+
r
2
r
2
<
r
1
r
1
=
a
1
r
2
+
r
3
r
3
<
r
2
⋮
r
n
−
1
=
a
n
−
1
r
n
+
r
n
+
1
r
n
+
1
<
r
n
r
n
=
a
n
r
n
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}r_{0}&=r\\r_{1}&=s\\r_{0}&=a_{0}r_{1}+r_{2}&r_{2}&<r_{1}\\r_{1}&=a_{1}r_{2}+r_{3}&r_{3}&<r_{2}\\&\vdots \\r_{n-1}&=a_{n-1}r_{n}+r_{n+1}&r_{n+1}&<r_{n}\\r_{n}&=a_{n}r_{n+1}\end{aligned}}}
인
r
0
,
a
0
∈
Z
{\displaystyle r_{0},a_{0}\in \mathbb {Z} }
r
1
,
…
,
r
n
+
1
,
a
1
,
…
,
a
n
∈
Z
+
{\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n+1},a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {Z} ^{+}}
a
n
≥
2
{\displaystyle a_{n}\geq 2}
r
/
s
=
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
]
=
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
−
1
,
1
]
{\displaystyle r/s=[a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]=[a_{0};a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}-1,1]}
이다.
모든 무한 단순 연분수는 항상 수렴하며, 극한은 항상 무리수 이다. 반대로 모든 무리수는 무한 단순 연분수로 나타낼 수 있으며 그 방법은 유일하다. 무리수
x
∈
R
∖
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
x
=
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
]
{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}
는 다음과 같다.
x
0
=
x
{\displaystyle x_{0}=x}
a
0
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }
x
n
+
1
=
1
/
(
x
n
−
a
n
)
{\displaystyle x_{n+1}=1/(x_{n}-a_{n})}
a
n
+
1
=
⌊
x
n
+
1
⌋
{\displaystyle a_{n+1}=\lfloor x_{n+1}\rfloor }
무리수
x
∈
R
∖
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
x
=
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
]
{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}
와 근사분수들
x
(
n
)
=
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
]
{\displaystyle x^{(n)}=[a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]}
이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
x
(
0
)
<
x
(
2
)
<
x
(
4
)
<
⋯
<
x
<
⋯
<
x
(
5
)
<
x
(
3
)
<
x
(
1
)
{\displaystyle x^{(0)}<x^{(2)}<x^{(4)}<\cdots <x<\cdots <x^{(5)}<x^{(3)}<x^{(1)}}
즉, 짝수째 근사분수는 실제 값보다 작은 데 비하여, 홀수째 근사분수는 실제 값보다 크다. 또한 짝수째 근사분수는 증가 수열, 홀수째 근사분수는 감소 수열을 이룬다.
무리수
x
∈
R
∖
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
동치 이다.
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
2차 대수적 수 이다. 즉,
x
{\displaystyle x}
판별식 은 제곱수가 아닌 양의 정수이다. 즉,
x
=
r
+
s
d
{\displaystyle x=r+s{\sqrt {d}}}
제곱 인수가 없는 양의 정수
d
∈
Z
+
{\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}}
r
,
s
∈
Q
{\displaystyle r,s\in \mathbb {Q} }
s
≠
0
{\displaystyle s\neq 0}
2차 대수적 수
r
+
s
d
{\displaystyle r+s{\sqrt {d}}}
동치 이다.
r
+
s
d
{\displaystyle r+s{\sqrt {d}}}
r
+
s
d
>
1
{\displaystyle r+s{\sqrt {d}}>1}
−
1
<
r
−
s
d
<
0
{\displaystyle -1<r-s{\sqrt {d}}<0}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
a
∈
Z
{\displaystyle a\in \mathbb {Z} }
b
∈
Z
+
{\displaystyle b\in \mathbb {Z} ^{+}}
|
b
x
−
a
|
=
min
a
′
∈
Z
,
b
′
∈
Z
+
b
′
≤
b
|
b
′
x
−
a
′
|
{\displaystyle |bx-a|=\min _{a'\in \mathbb {Z} ,b'\in \mathbb {Z} ^{+}}^{b'\leq b}|b'x-a'|}
필요충분조건 은
a
/
b
{\displaystyle a/b}
x
{\displaystyle x}
만약
|
x
−
a
/
b
|
=
min
a
′
∈
Z
,
b
′
∈
Z
+
b
′
≤
b
|
x
−
a
′
/
b
′
|
{\displaystyle |x-a/b|=\min _{a'\in \mathbb {Z} ,b'\in \mathbb {Z} ^{+}}^{b'\leq b}|x-a'/b'|}
a
/
b
{\displaystyle a/b}
x
{\displaystyle x}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
h
n
/
k
n
{\displaystyle h_{n}/k_{n}}
x
{\displaystyle x}
n
{\displaystyle n}
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\dots }
|
k
n
x
−
h
n
|
=
min
a
∈
Z
,
b
∈
Z
+
b
<
k
n
+
1
|
b
x
−
a
|
{\displaystyle |k_{n}x-h_{n}|=\min _{a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} ^{+}}^{b<k_{n+1}}|bx-a|}
이다.
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
h
n
/
k
n
{\displaystyle h_{n}/k_{n}}
x
{\displaystyle x}
n
{\displaystyle n}
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\dots }
1
/
(
k
n
(
k
n
+
k
n
+
1
)
)
≤
|
x
−
h
n
/
k
n
|
≤
1
/
k
n
2
{\displaystyle 1/(k_{n}(k_{n}+k_{n+1}))\leq |x-h_{n}/k_{n}|\leq 1/k_{n}^{2}}
x
{\displaystyle x}
다음 두 부등식 가운데 적어도 하나가 성립한다.
|
x
−
h
n
/
k
n
|
<
1
/
(
2
k
n
2
)
{\displaystyle |x-h_{n}/k_{n}|<1/(2k_{n}^{2})}
|
x
−
h
n
+
1
/
k
n
+
1
|
<
1
/
(
2
k
n
+
1
2
)
{\displaystyle |x-h_{n+1}/k_{n+1}|<1/(2k_{n+1}^{2})}
(후르비츠 정리 ) 다음 세 부등식 가운데 적어도 하나가 성립한다.
|
x
−
h
n
/
k
n
|
<
1
/
(
5
k
n
2
)
{\displaystyle |x-h_{n}/k_{n}|<1/({{\sqrt {5}}k_{n}^{2}})}
|
x
−
h
n
+
1
/
k
n
+
1
|
<
1
/
(
5
k
n
+
1
2
)
{\displaystyle |x-h_{n+1}/k_{n+1}|<1/({\sqrt {5}}k_{n+1}^{2})}
|
x
−
h
n
+
2
/
k
n
+
2
|
<
1
/
(
5
k
n
+
2
2
)
{\displaystyle |x-h_{n+2}/k_{n+2}|<1/({\sqrt {5}}k_{n+2}^{2})}
반대로, 디오판토스 근사 에 대한 르장드르 정리 (영어 : Legendre’s theorem )에 따르면 다음이 성립한다. 임의의
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
a
∈
Z
{\displaystyle a\in \mathbb {Z} }
b
∈
Z
+
{\displaystyle b\in \mathbb {Z} ^{+}}
서로소 정수쌍 에 대하여, 만약
|
x
−
a
/
b
|
<
1
/
2
b
2
{\displaystyle |x-a/b|<1/2b^{2}}
라면,
a
/
b
{\displaystyle a/b}
x
{\displaystyle x}
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle {\sqrt {n}}}
h
i
/
k
i
{\displaystyle h_{i}/k_{i}}
n
{\displaystyle {\sqrt {n}}}
i
{\displaystyle i}
펠 방정식
x
2
−
n
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}
의 음이 아닌 정수해는 다음과 같다.
만약
k
{\displaystyle k}
(
x
i
,
y
i
)
=
(
h
i
k
−
1
,
k
i
k
−
1
)
(
i
=
0
,
1
,
2
,
3
,
…
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i})=(h_{ik-1},k_{ik-1})\qquad (i=0,1,2,3,\dots )}
만약
k
{\displaystyle k}
(
x
i
,
y
i
)
=
(
h
i
k
−
1
,
k
i
k
−
1
)
(
i
=
0
,
2
,
4
,
6
,
…
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i})=(h_{ik-1},k_{ik-1})\qquad (i=0,2,4,6,\dots )}
또한, 펠 방정식
x
2
−
n
y
2
=
−
1
{\displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1}
의 음이 아닌 정수해는 다음과 같다.
만약
k
{\displaystyle k}
만약
k
{\displaystyle k}
(
x
i
,
y
i
)
=
(
h
i
k
−
1
,
k
i
k
−
1
)
(
i
=
1
,
3
,
5
,
7
,
…
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i})=(h_{ik-1},k_{ik-1})\qquad (i=1,3,5,7,\dots )}
또한, (
k
{\displaystyle k}
h
i
k
−
1
+
k
i
k
−
1
d
=
(
h
k
−
1
+
k
k
−
1
d
)
i
(
i
=
0
,
1
,
2
,
3
,
…
)
{\displaystyle h_{ik-1}+k_{ik-1}{\sqrt {d}}=(h_{k-1}+k_{k-1}{\sqrt {d}})^{i}\qquad (i=0,1,2,3,\dots )}
예를 들어, 원주율 파이(
π
{\displaystyle \pi }
a
0
=
⌊
π
⌋
=
3
u
1
=
1
π
−
3
≈
113
16
=
7.0625
a
1
=
⌊
u
1
⌋
=
7
u
2
=
1
u
1
−
7
≈
31993
2000
=
15.9965
a
2
=
⌊
u
2
⌋
=
15
u
3
=
1
u
2
−
15
≈
1003
1000
=
1.003
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=\lfloor \pi \rfloor =3&u_{1}&={\frac {1}{\pi -3}}\approx {\dfrac {113}{16}}=7.0625\\a_{1}&=\lfloor u_{1}\rfloor =7&u_{2}&={\frac {1}{u_{1}-7}}\approx {\dfrac {31993}{2000}}=15.9965\\a_{2}&=\lfloor u_{2}\rfloor =15&u_{3}&={\frac {1}{u_{2}-15}}\approx {\dfrac {1003}{1000}}=1.003\end{aligned}}}
(
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
x
{\displaystyle x}
이런 식으로 계속 나간다.
이를 반복하면, 무한 연분수
π
=
[
3
;
7
,
15
,
1
,
292
,
1
,
1
,
1
,
2
,
⋯
]
=
3
+
1
7
+
1
15
+
1
1
+
1
292
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
1
2
+
1
⋱
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\cdots ]\\&=3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}
를 얻는다.
π
{\displaystyle \pi }
[
3
;
7
,
15
,
1
]
=
355
113
=
3.14159292035
⋯
{\displaystyle [3;7,15,1]={\frac {355}{113}}=3.14159292035\cdots }
π
{\displaystyle \pi }
↑ Cassels, J. W. S. (1957). 《An introduction to Diophantine approximation》 (영어). Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 45 . 뉴욕 : Cambridge University Press. ISSN 0068-6824 . MR 0087708 . Zbl 0077.04801 . 오정환, 이준복, 『정수론』, 교우사, 2003
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1286ed4f275e241d067e0dd9deb2e71f45239e)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f43c9ea0e12e1cbbf43562235ec4f96ba7d82fd)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c769d644c9f6fc25cb95fdda783d7de04e32995)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daeace549daa68f264106cc91a4cd52d12b7db46)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n},\dots ,a_{n+k-1},a_{n},\dots ,a_{n+k-1},\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3aef3d318256eeba5ed070911be535f1a9ce51)
![{\displaystyle [a_{0};\dots ,a_{k-1},a_{0},\dots ,a_{k-1},\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8f145e7ba41cbd72dfab8db6f8705f43a216c0)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903b6d62190ea11bb19e10c307f1b10bb2998d7b)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]=h_{n}/k_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9e114a0600dce7248b7e0281c501c5ae76adf0)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n},a]=(h_{n-1}+ah_{n})/(k_{n-1}+ak_{n})\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+},\;0\leq a\leq a_{n+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d7a85735440c428cd715e002def48b6027ae28d)
![{\displaystyle [a_{n};a_{n+1},a_{n+2},\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a2fa466dac492336e2922765e092f677da4321)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb310128a6393eb3f38723de340c8f8b7e56868)
![{\displaystyle r/s=[a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]=[a_{0};a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d588ef176b1d2d6a7777d0bb16cf7fd6fd30b9)
![{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6bb643ee84259c1447151da2ff3123c7f91b85)
![{\displaystyle x^{(n)}=[a_{0};a_{1},\dots ,a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba68c5f361496382185a83743344b8d7458aefe)
이 부분의 본문은 디오판토스 근사입니다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\cdots ]\\&=3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbee80cfcd8f7066872751637b2d335b92ae7ae)
![{\displaystyle [3;7,15,1]={\frac {355}{113}}=3.14159292035\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283fa6856ad8c1cb232f5f5797995cdce51e1c96)
