Conjunt obert regular

Es diu que un subconjunt $S$ d'un espai topològic $X$ és un conjunt obert regular si és igual a l'interior de la seva clausura; o expressat simbòlicament, si $\operatorname {Int} ({\overline {S}})=S$ o, equivalentment, si $\partial ({\overline {S}})=\partial S,$ on $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ i $\partial S$ denoten, respectivament, l'interior, la clausura i la frontera de $S.$

Es diu que un subconjunt $S$ de $X$ és un conjunt tancat regular si és igual a la clausura del seu interior; de forma simbòlica, si ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ o, equivalentment, si $\partial (\operatorname {Int} S)=\partial S.$

Exemples

Si s'equipa $\mathbb {R}$ amb la seva topologia euclidiana habitual, llavors el conjunt obert $S=(0,1)\cup (1,2)$ no és un conjunt obert regular, ja que $\operatorname {Int} ({\overline {S}})=(0,2)\neq S.$ Tot interval obert en $\mathbb {R}$ és un conjunt obert regulari tot interval tancat no-degenerat (és a dir, un interval tancat que conté com a mínim dos punts diferents) és un conjunt tancat regular. Un singletó $\{x\}$ és un subconjunt tancat de $\mathbb {R}$ però no un conjunt tancat regular perquè el seu interior és el conjunt buit $\varnothing ,$ i per tant ${\overline {\operatorname {Int} \{x\}}}={\overline {\varnothing }}=\varnothing \neq \{x\}.$

Propietats

Un subconjunt de $X$ és un conjunt obert regular si i només si el seu complement en $X$ és un conjunt tancat regular. Tot conjunt obert regular és un conjunt obert i tot conjunt tancat regular és un conjunt tancat.

Tot subconjunt clopen de $X$ (inclosos el conjunt buit $\varnothing$ i l'espai $X$ mateix) és simultàniament un subconjunt obert regular i un subconjunt tancat regular.

L'interior d'un subconjunt tancat de $X$ és un subconjunt obert regular d'$X$ i similarment, la clausura d'un subconjunt obert d'$X$ és un subconjunt tancat regular d'$X.$ La intersecció (però no necessàriament la unió) de dos conjunts oberts regulars és un conjunt obert regular. Similarment, la unió (però no necessàriament la intersecció) de dos conjunts tancats regulars és un conjunt tancat regular.

La col·lecció de tots els conjunts oberts regulars en $X$ forma una àlgebra booleana completa; l'operador join ve donat per $U\vee V=\operatorname {Int} ({\overline {U\cup V}}),$ i l'operador meet és $U\land V=U\cap V$ i el complement és $\neg U=\operatorname {Int} (X\setminus U).$

Vegeu també

• Espai regular : propietat dels espais topològics
• Axioma de separació : axiomes en topologia que defineixen les nocions de "separació"

Bibliografia

• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
• Plantilla:Willard General Topology