Analytická funkce

Analytická funkce je funkce, kterou lze vyjádřit jako součet mocninné řady, tj. pro funkci $f(x)$ v okolí libovolného bodu $x_{0}$ definičního oboru platí:

f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}(x-x_{0})^{i}

.

Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna $x$ z okolí bodu $x_{0}$ . Analytické funkce mohou být reálné, ale také komplexní. Všechny holomorfní funkce jsou analytické.

Příklady

Analytické funkce jsou například polynomy, goniometrické funkce, exponenciála a logaritmus.

Příkladem komplexní analytické funkce je tzv. hlavní hodnota (větev) logaritmická funkce komplexní proměnné $z$ , která je definována vztahem $\ln z=\ln r+\mathrm {i} \varphi$ pro $r>0$ a $-\pi <\varphi \leq \pi$ , kde $z=r(\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )$ . Tato funkce je holomorfní funkce v celé komplexní rovině s výjimkou nekladné části reálné osy, kde je nespojitá (její imaginární část má v těchto bodech skok $-2\pi$ ).

Vlastnosti

Součet analytických funkcí je analytická funkce.
Součin analytických funkcí je analytická funkce.

Literatura

Krantz, Steven; Harold R., Parks (2002), A Primer of Real Analytic Functions (Second ed.), Birkhäuser

Související články

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.