풍성한 범주

범주론에서 풍성한 범주(豐盛-範疇, 영어: enriched category)는 "사상 집합"이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상이 될 수 있는, 범주의 개념의 일반화이다.

정의

({\mathcal {M}},\otimes \colon {\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}},I\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {M}}),\alpha \colon ({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {M}})\otimes {\mathcal {M}}\Rightarrow {\mathcal {M}}\otimes ({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {M}}),\lambda \colon (I\otimes {\mathcal {M}})\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {M}},\rho \colon ({\mathcal {M}}\otimes I)\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {M}})

가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {M}}$ 위의 풍성한 범주(영어: category enriched over ${\mathcal {M}}$ ) ${\mathcal {C}}$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

모임 $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ . 이 모임의 원소를 ${\mathcal {C}}$ 의 대상(영어: object)이라고 한다.
임의의 $X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ 에 대하여, $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {M}})$ .
임의의 $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ 에 대하여, ${\mathcal {M}}$ -사상 $\operatorname {id} _{X}\colon I\to \hom _{\mathcal {C}}(X,X)$ . 이는 항등 사상을 나타낸다.
임의의 $X,Y,Z\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ 에 대하여, ${\mathcal {M}}$ -사상 $\circ _{XYZ}\colon \hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\to \hom _{\mathcal {C}}(X,Z)$ . 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음 세 그림을 가환하게 만들어야만 한다.

(사상 합성의 결합 법칙)
${\begin{matrix}\left(\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\right)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ _{YZW}\otimes \operatorname {id} }}&\hom _{\mathcal {C}}(Y,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ _{XYW}}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,W)\\\downarrow \scriptstyle \alpha &&&&\downarrow \scriptstyle \operatorname {id} \\\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \left(\hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\right)&{\xrightarrow[{\operatorname {id} \otimes \circ _{XYZ}}]{}}&\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Z)&{\xrightarrow[{\circ _{XZW}}]{}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,W)\end{matrix}}$
(사상 합성의 왼쪽 항등원)
${\begin{matrix}I\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\operatorname {id} _{Y}\otimes \operatorname {id} }}&\hom _{\mathcal {C}}(Y,Y)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\\&{\scriptstyle \lambda }\searrow &\downarrow \scriptstyle \circ _{XYY}\\&&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\end{matrix}}$
(사상 합성의 오른쪽 항등원)
${\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\otimes I&{\xrightarrow {\operatorname {id} \otimes \operatorname {id} _{X}}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,X)\\&{\scriptstyle \rho }\searrow &\downarrow \scriptstyle \circ _{XXY}\\&&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\end{matrix}}$

풍성한 함자

모노이드 범주 ${\mathcal {M}}$ 위의 두 풍성한 범주 ${\mathcal {C}}$ , ${\mathcal {D}}$ 사이의 ${\mathcal {M}}$ -풍성한 함자(영어: ${\mathcal {M}}$ -enriched functor) $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

각 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여, 대상 $F(X)\in {\mathcal {D}}$
두 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여, ${\mathcal {M}}$ 속의 사상 $F_{XY}\colon \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\to \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

(항등원의 보존) 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여 다음 그림이 가환한다.
${\begin{matrix}I\\{\scriptstyle \operatorname {id} _{X}}\downarrow &\searrow {\scriptstyle \operatorname {id} _{F(X)}}\\\hom _{\mathcal {C}}(X,X)&{\xrightarrow[{F_{XX}}]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(X))\end{matrix}}$
(사상 합성의 보존) 임의의 대상 $X,Y,Z\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여 다음 그림이 가환한다.
${\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ }}&\hom _{\mathcal {C}}(X,Z)\\{\scriptstyle F_{YZ}\otimes F_{XY}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle F_{XZ}\\\hom _{\mathcal {D}}(F(Y),F(Z))\otimes \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))&{\xrightarrow[{\circ }]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Z))\end{matrix}}$

풍성한 자연 변환

모노이드 범주 ${\mathcal {M}}$ 위의 두 풍성한 범주 ${\mathcal {C}}$ , ${\mathcal {D}}$ 사이의 두 ${\mathcal {M}}$ -풍성한 함자 $F,G\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ 사이의 ${\mathcal {M}}$ -풍성한 자연 변환(영어: ${\mathcal {M}}$ -enriched natural transformation) $\eta \colon F\Rightarrow G$ 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

각 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여, ${\mathcal {M}}$ 속의 사상 $\eta _{X}\colon I\to \hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(X))$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

(풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여 다음 그림이 가환한다.
${\begin{matrix}&&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\otimes I&\xrightarrow {G_{XY}\otimes \eta _{X}} &\hom _{\mathcal {D}}(G(X),G(Y))\otimes \hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(X))\\&{\scriptstyle \rho ^{-1}}\nearrow &&&&\searrow {\scriptstyle \circ }\\\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&&&&&&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(Y))\\&{\scriptstyle \lambda ^{-1}}\searrow &&&&\nearrow {\scriptstyle \circ }\\&&I\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&\xrightarrow {\eta _{Y}\otimes F_{XY}} &\hom _{\mathcal {D}}(F(Y),G(Y))\otimes \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))\end{matrix}}$

만약 ${\mathcal {M}}$ 이 국소적으로 작은 닫힌 대칭 모노이드 범주일 때, ${\mathcal {M}}$ 은 스스로 ${\mathcal {M}}$ -풍성한 범주를 이루며, 표현 가능 ${\mathcal {M}}$ -풍성한 함자

\hom _{\mathcal {D}}(F(X),-)\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {M}}

\hom _{\mathcal {D}}(-,G(Y))\colon {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {M}}

가 존재한다. 이 경우, ${\mathcal {M}}$ -풍성한 자연 변환 조건은 다음과 같이 쓸 수 있다.

(풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여 다음 그림이 가환한다.
${\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&\xrightarrow {F} &\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))\\{\scriptstyle G}\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle \hom _{\mathcal {D}}(\operatorname {id} ,\eta _{Y})}\\\hom _{\mathcal {D}}(G(X),G(Y))&{\xrightarrow[{\hom _{\mathcal {D}}(\eta _{X},\operatorname {id} )}]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(Y))\end{matrix}}$

모노이드 범주 ${\mathcal {M}}$ 이 주어졌을 때, 작은(=대상 모임이 집합인) ${\mathcal {M}}$ -풍성한 범주, ${\mathcal {M}}$ -풍성한 함자, ${\mathcal {M}}$ -풍성한 자연 변환은 2-범주 $\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat}$ 를 이룬다.

연산

반대 범주

만약 ${\mathcal {M}}$ 이 대칭 모노이드 범주일 때, ${\mathcal {M}}$ -풍성한 범주 ${\mathcal {C}}$ 의 반대 ${\mathcal {M}}$ -풍성한 범주(영어: opposite ${\mathcal {M}}$ -enriched category) ${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$ 는 다음과 같다.

$\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} })=\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$
$\hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Y)=\hom _{\mathcal {C}}(Y,X)$
사상의 합성
$\hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(Y,Z)\otimes \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Y)\to \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Z)$
는 다음과 같다.
$\hom _{\mathcal {C}}(Z,Y)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(Y,X)\xrightarrow {\sigma } \hom _{\mathcal {C}}(Y,X)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(Z,Y)\xrightarrow {\circ } \hom _{\mathcal {C}}(Z,X)$
항등 사상 $I\to \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,X)$ 는 단순히 $I\xrightarrow {\operatorname {id} _{X}} \hom _{\mathcal {C}}(X,X)$ 이다.

텐서곱

만약 ${\mathcal {M}}$ 이 대칭 모노이드 범주일 때, ${\mathcal {M}}$ -풍성한 범주 ${\mathcal {C}}$ , ${\mathcal {D}}$ 의 텐서곱(영어: tensor product) ${\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}$ 는 다음과 같다.

$\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}})=\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})\times \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$
$\hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X',Y'))=\hom _{\mathcal {C}}(X,X')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y')$
사상의 합성
$\hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X',Y'),(X'',Y''))\otimes \hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X',Y'))\to \hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X'',Y''))$
은 다음과 같다.
$(\hom _{\mathcal {C}}(X',X'')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y',Y''))\otimes (\hom _{\mathcal {C}}(X,X')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y'))\xrightarrow {\cong } (\hom _{\mathcal {C}}(X',X'')\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,X'))\otimes (\hom _{\mathcal {D}}(Y',Y'')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y'))\xrightarrow {\circ \otimes \circ } \hom _{\mathcal {C}}(X,X'')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y'')$
항등 사상 $I\xrightarrow {} \hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X,Y))$ 은
$I\xrightarrow {\cong } I\otimes I\xrightarrow {\operatorname {id} _{X}\otimes \operatorname {id} _{Y}} \hom _{\mathcal {C}}(X,X)\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y)$
이다.

대칭 모노이드 범주 ${\mathcal {M}}$ 이 주어졌을 때, $\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat}$ 는 풍성한 범주의 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 2-범주를 이룬다.

풍성함의 망각

국소적으로 작은 모노이드 범주 ${\mathcal {M}}$ 이 주어졌을 때, 작은 ${\mathcal {M}}$ -풍성한 범주의 2-범주 $\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat}$ 와 작은 범주의 2-범주 $\operatorname {Cat}$ 사이에 표준적인 표현 가능 2-함자

\hom _{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }(1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} },-)\colon \operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} \to \operatorname {Cat}

가 존재한다.^[1] 여기서 $1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }\in \operatorname {{\mathcal {M}}-Cat}$ 은 다음과 같다.

\operatorname {Ob} (1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} })=\{\bullet \}

\hom _{1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }}(\bullet ,\bullet )=I

예

국소적으로 작은 범주는 집합의 범주 $\operatorname {Set}$ 위의 풍성한 범주와 같다.

n-범주

작은 범주의 범주 $\operatorname {Cat}$ 위의 풍성한 범주를 2-범주(영어: 2-category)라고 한다. 보다 일반적으로, $n$ -범주의 범주 $n{\text{-Cat}}$ 위의 풍성한 범주를 $(n+1)$ -범주(영어: $(n+1)$ -category)라고 한다.

선형 범주

가환환 $R$ 위의 가군들의 범주 $\operatorname {Mod} _{R}$ 는 텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 이 위의 풍성한 범주는 $R$ -선형 범주(-線型範疇, 영어: $R$ -linear category)라고 한다.

준가법 범주

특히, $R=\mathbb {Z}$ (정수환)인 경우, $\operatorname {Mod} _{R}$ 는 아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$ 와 같다. $\operatorname {Ab}$ -풍성한 범주는 준가법 범주(準加法範疇, 영어: preadditive category)라고 하고, $\operatorname {Ab}$ -풍성한 함자는 가법 함자(加法範疇, 영어: additive functor)라고 한다.

준가법 범주는 항상 영 대상을 가지며, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치한다.

가법 범주(영어: additive category)는 유한 완비 준가법 범주이다. (준가법 범주에서 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하므로, 유한 완비 범주인 것은 유한 쌍대 완비 범주인 것과 동치이다.)

같이 보기

내적 범주

참고 문헌

↑ Kelly, Gregory Maxwell (2005). “Basic concepts of enriched category theory” 1982년판 재판 (영어). 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (No. 10 (2005)): 1~136. MR 2177301. Zbl 1086.18001.

Kelly, G. M. (1982). 《Basic Concepts of Enriched Category Theory》 (PDF) (영어). London Mathematical Society Lecture Note Series 64. Cambridge University Press.

외부 링크

“Category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Higher-dimensional category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Enriched category theory” (영어). 《nLab》.
“Enriched category” (영어). 《nLab》.
“Enriched functor” (영어). 《nLab》.
“Strict n-category” (영어). 《nLab》.
“Linear category” (영어). 《nLab》.
“Linear functor” (영어). 《nLab》.
“Preadditive category” (영어). 《nLab》.
“Additive functor” (영어). 《nLab》.
“Additive category” (영어). 《nLab》.

[Kelly-1] Kelly, Gregory Maxwell (2005). “Basic concepts of enriched category theory” 1982년판 재판 (영어). 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (No. 10 (2005)): 1~136. MR 2177301. Zbl 1086.18001.

[1]