階乘

階乘數列

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	7025155112100400000♠1.551121004×1025
50	7064304140932000000♠3.041409320×1064
70	7100119785716700000♠1.197857167×10100
100	7157933262154400000♠9.332621544×10157
450	1.733368733×101000
1000	4.023872601×102567
3249	6.412337688×1010000
10000	2.846259681×1035659
25206	1.205703438×10100000
100000	2.824229408×10456573
205023	2.503898932×101000004
1000000	8.263931688×105565708
7100100000000000000♠10100	109.956570552×10101

階乘係指一個自然數同所有細過呢個數嘅正整數嘅積，表示 n 樣嘢全排列有幾多種排法，用 $!$ 去表示，譬如：

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.$

1嘅階乘1!係1、0嘅階乘0!亦係1，其中0嘅階乘表示一個空積。

定義

階乘可以用連乘積嚟定義：

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n,$

當n ≥ 1，可以用連乘積符號表達：

$n!=\prod _{i=1}^{n}i.$

公式可以推導出遞歸關係：

$n!=n\cdot (n-1)!$

恆等式

$n!={(n+1)! \over {n+1}}$，所以 $0!=1$。

${(n+a)! \over n!}=(n+a)(n+a-1)...(n+1)$。

相對概念

階除係階乘嘅倒數，寫做 $n!^{-1}$ 或者 $1 \over n!$。

階除可以用階乘嚟定義：

${\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}}$

當n ≥ 1，可以用連乘積符號表達：

${\frac {1}{n!}}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}$

所有自然數(包括0)嘅階除相加等於 e：

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=e$

或

$1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+...=e$

睇堆

• 雙階乘
• 排列組合
• Γ函數
• 弱排列
• 難解問題
• 已解遊戲