E = mc²

E = mc² na taipeiském mrakodrapu Taipei 101 při příležitosti Světového roku fyziky 2005

Rovnice $E=mc^{2}$ popsaná Albertem Einsteinem ve speciální teorii relativity patří mezi nejslavnější rovnice všech dob. Rovnice popisuje vztah mezi energií a hmotností: Energie = hmotnost · (rychlost světla ve vakuu)²

Podle této rovnice je celkové množství energie, které lze z tělesa získat při nepůsobení vnějších sil (tedy kinetické i klidové energie), rovno hmotnosti tělesa vynásobené druhou mocninou rychlosti světla. V praxi však lze klidovou energii (nesprávně „hmotu“) na energii převádět obvykle jen s výrazně nižší účinností, proto množství získané energie nikdy nedosahuje této úrovně. Při běžných způsobech získávání energie (např. v jaderných elektrárnách) se totiž na energii nepřemění veškerý úbytek klidové energie, část (obvykle většina) ho zůstává jako „odpad“ přeměněný na dále nevyužité druhy energie. Příkladem teoreticky úplné přeměny je reakce hmoty s antihmotou.

Rovnice však také naopak říká, že každému druhu energie lokalizované v tělese nebo v poli přísluší i odpovídající hmotnost projevující se setrvačnými a gravitačními vlastnostmi. Vzhledem k velikosti dvojmoci rychlosti světla jsou však v běžných makroskopických poměrech změny hmotnosti dané dodáním či odebráním energie velmi malé.

Množství energie v jednom kilogramu (libovolné) hmoty je tedy

• 89 875 517 873 681 764 J (≈ 90 PJ) neboli
• 24 965 421 632 kWh (≈ 25 TWh),
• což odpovídá energii uvolněné při výbuchu více než 21 megatun TNT.

Historie

Albert Einstein tento vztah vyvodil ze své speciální teorie relativity v létě 1905, kdy čekal na její publikaci v Annalen der Physik. Den po jejím vydání byl 27. září do redakce přijat Einsteinův článek Je setrvačnost těles závislá na jejich energetickém obsahu?, který vyšel 21. listopadu jako poslední ze čtyř Einsteinových textů Anno mirabilis (zázračného roku) 1905. Na pouhých 3 stranách textu odvozuje z rovnic speciální relativity, že když těleso vyzáří energii L, jeho hmotnost se sníží o L/V² (V je rychlost světla). A z toho vyvodil obecnější závěr, že hmotnost tělesa je mírou jeho energetického obsahu. Původně tedy byl vztah vyjádřen jako m = E/c², nebyl zapsán formou rovnice a používal jiné značení písmeny.

Odvození pomocí integrálního počtu

K odvození této rovnice stačí základy integrálního počtu.

Vyjdeme ze vztahu pro kinetickou energii E_k:

$E_{k}=W=\int _{\mathbf {r_{1}} (v_{1}=0)}^{\mathbf {r_{2}} (v_{2}\neq 0)}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\mathbf {r_{1}} }^{\mathbf {r_{2}} }{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\boldsymbol {0}}^{\mathbf {p} }\mathbf {v} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =$

$=\int _{\boldsymbol {0}}^{\mathbf {p} }\mathbf {v} \,\mathrm {d} (m.\mathbf {v} )$.

Uvažujeme-li působení síly rovnoběžně s dráhou tělesa, lze vynechat vektory:

$=\int _{0}^{p}v(v\,\mathrm {d} m+m\,\mathrm {d} v)=\int _{0}^{p}(v^{2}\,\mathrm {d} m+mv\,\mathrm {d} v)$,

druhý člen lze upravit podle vztahu pro relativistickou hmotnost:

$m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$,

$m^{2}={\frac {m_{0}^{2}}{\frac {c^{2}-v^{2}}{c^{2}}}}$,

$m^{2}(c^{2}-v^{2})=m_{0}^{2}c^{2}$.

Uděláme diferenciál této rovnice,

$2m\,\mathrm {d} m(c^{2}-v^{2})+m^{2}(-2v\,\mathrm {d} v)=0$,

$\mathrm {d} m(c^{2}-v^{2})=mv\,\mathrm {d} v$

a dosadíme do původní rovnice:

$E_{k}=\int _{m_{0}}^{m}(v^{2}\mathrm {d} m+\mathrm {d} m(c^{2}-v^{2}))=\int _{m_{0}}^{m}(v^{2}\mathrm {d} m+c^{2}\mathrm {d} m-v^{2}\mathrm {d} m)=$

$=\int _{m_{0}}^{m}c^{2}\mathrm {d} m=c^{2}\int _{m_{0}}^{m}1\,\mathrm {d} m=c^{2}[m]_{m_{0}}^{m}=c^{2}(m-m_{0})$

$E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2}\,\!$.

Na levé straně je kinetická energie, $m_{0}c^{2}$ je klidová energie (chemická, jaderná, potenciální).

$E=E_{k}+E_{0}=mc^{2}\,\!$

je tedy celková energie tělesa.

Související články

• Hmotnostní schodek
• Klidová hmotnost
• Teorie relativity
• Relativistická hmotnost

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu E = mc² na Wikimedia Commons
• Kniha de:A. Einstein, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? - Kommentiert und erläutert. ve Wikiknihách – původní článek z roku 1905
• Does the inertia of a body depend upon its energy-content? – anglický překlad Einsteinova článku z roku 1905