Координатни систем
Координатни систем у геометрији је систем који користи један или више бројева, или координата, да би јединствено одредио и стандардизовао положај тачака или других геометријских елемената на многострукости као што је Еуклидов простор.[1][2] Координате нису замјенљиве; обично се разликују по положају у уређеном торку или по ознаци, као што је „x-координата”. Координате се у елементарној математици узимају као реални бројеви, али могу бити и комплексни бројеви или елементи апстрактнијег система, као што је комутативни прстен. Употреба координатног система омогућава да се проблема у геометрији преведу у проблеме о бројевима и обрнуто; то је основа аналитичке геометрије.[3]
Уобичајени координатни систем
[уреди | уреди извор]Бројевна права
[уреди | уреди извор]Најједноставнији примјер координатног система је идентификација тачака на правој са реалним бројевима помоћу бројевне праве. У овом систему, произвољна тачка O је изабрана на датој правој. Координата тачке P је дефинисана као означено растојање од тачке O од тачке P, гдје је означено растојање у ствари растојање узето као позитивно или негативно у зависности од тога на којој страни праве P лежи. Свакој тачки је дата јединствена координата и сваки реални број је координата јединствене тачке.[4]
Декартов координатни систем
[уреди | уреди извор]
Прототипски примјер координатног система је Декартов координатни систем. У равни су изабране двије нормалне праве, а координате тачке се узимају као означене удаљености до правих.[5] У три димензије, изабране су три међусобно ортогоналне равни, а три координатне тачке су означене удаљености до сваке од равни.[6] Ово се може генерализовати да би се створило n координата за било коју тачку у n-димензионалном еуклидском простору.
У зависности од правца и редослиједа координатних оса, тродимензионални систем може бити десноруки или љеворуки систем.
Поларни координатни систем
[уреди | уреди извор]Још један уобичајени координатни систем за раван је поларни координатни систем.[7] Тачка је изабрана као пол, а зрак из те тачке се узима као поларна оса. За дати угао θ, постоји један линија кроз пол чији је угао са поларном осом θ (мјерено супротно од казаљке на сату од осе до линије). Тада постоји јединствена тачка на овој правој, чије је означено растојање од координатног почетка r за дати број r. За дати пар координата (r, θ) постоји једна тачка, али свака тачка је представљена многим паровима координата. Нпр., (r, θ), (r, θ+2π) и (−r, θ+π) су све поларне координате за исту тачку. Пол је представљен са (r, θ) за било коју вриједност θ.
Цилиндрични и сферни координатни систем
[уреди | уреди извор]
Постоје двије уобичајене методе за проширење поларног координатног система на три димензије. У цилиндричном координатном систему, z-координата са истим значењем као у Деклартовим координатама се додаје поларним координатама r и θ, добијајући тројку (r, θ, z).[8] Сферни координатни систем иде корак даље претварањем пара цилиндричних координата (r, z) у поларне координате (ρ, φ) дајући тројку (ρ, θ, φ).[9]
Хомогени координатни систем
[уреди | уреди извор]Тачка у равни може бити представљена у хомогеним координатама тројком (x, y, z), гдје су x/z и y/z Декартове координате тачке.[10] Ово уводи „додатну” координату, јер су потребне само двије да би се одредила тачка на равни, али овај систем је користан јер представља било коју тачку на пројективној равни без употребе бесконачности. Уопштено, хомогени координатни систем је онај гдје су значајни само односи координата, а не стварне вриједности.
Други чести координатни системи
[уреди | уреди извор]Неки други уобичајени координатни системи су сљедећи:
- Криволинијски координатни систем су генерализација координатних система уопште; систем се заснива на пресеку кривих.
- Ортогонални координатни систем: координатне површине се секу под правим углом.
- Коси координатни систем: координатне површине нису ортогоналне.
- Логаритамски поларни координатни систем представља тачку у равни логаритмом растојања од координатног почетка и углом мереним од референтне линије која сече координатни почетак.
- Пликеров координатни систем су начин представљања линија у тродимензионалном еуклидском простору коришћењем шесторке бројева као хомогених координата.
- Уопштени координатни систем се користе у Лагранжовом третману механике.
- Канонски координатни систем се користе у Хамилтоновом третману механике.
- Барицентрични координатни систем се користи за тернарне графиконе и генерално у анализи троуглова.
- Трилинеарни координатни систем се користе у контексту троуглова.
Постоје начини описивања кривих без координата, коришћењем интринзичних јединачина које користе инваријантне величине као што су закривљеност и дужина лука. То укључује.
- Вивелова једначина повезује дужина лука и тангецијални угао.
- Чезарова једначина повезује дужину лука и закривљеност.
Координате геометријских објеката
[уреди | уреди извор]Координатни системи се често користе за одређивање положаја тачке, али се могу користити и за одређивање положаја сложенијих фигура као што су линије, равни, кружнице или сфере. Нпр. Пликерове координате се користе за одређивање положаја линије у простору.[11] Када је потребно, тип фигуре која се описује користи се за разликовање типа координатног система, нпр. термин линијске координате се користи за било који координатни систем који одређује положај линије.
Може се десити да су системи координата за два различита скупа геометријских фигура еквивалентни у смислу њихове анализе. Примјер за ово су системи хомогених координата за тачке и праве у пројективној равни. Два система у оваквом случају се називају дуалистичким. Дуалистички системи имају својство да се резултати једног система могу пренијети на други, јер су ти резултати само различите интерпретације истог аналитичког резултата; ово је познато као принцип дуалности.[12]
Трансформације
[уреди | уреди извор]Често постоји много различитих могућих координатних система за описивање геометријских фигура. Однос између различитих систем описује се трансформацијом координата, које дају формуле за координате у једном систему у смислу координата у другом систему. Нпр. у равни, ако Декартове координате (x, y) и поларне координате (r, θ) имају исти почетак, а поларна оса је позитивна x оса, онда је трансформација координата из поларних у Декартове координате дата са x = r cosθ и y = r sinθ.
Са сваком бијекцијом из простора у себе могу се повезати двије трансформације координата:
- Тако да су нове координате слике сваке тачке исте као старе координате првобитне тачке (формуле за пресликавање су инверзне онима за трансформацију координата)
- Тако су старе координате слике сваке тачке исте као нове координате првобитне тачке (формуле за пресликавање су исте као оне за трансформацију координата).
Нпр. у једној димензији, ако је пресликавање транслације 3 удесно, прво помјера исходиште са 0 на 3, тако да координата сваке тачке постаје мања за 3, док друго помјера исходиште са 0 на −3, тако да координата сваке тачке постоје већа за 3.
Координатне линије/криве
[уреди | уреди извор]Дат координатни систем, ако се једна од координата тачке мијења док се остале координате држе константним, онда се резултујућа крива назива координатна крива. Ако је координатна крива права линија, онда се назива координатна линија. Координатни систем у којем координатне линије могу бити закривљене назива се криволинијски координатни систем.[13] Ортогонални координатни систем је посебан, али изузетно чест случај криволинијских координата.
Координатна линија код које су све остале константне координате једнаке нули назива се координатна оса, оријентисана линија која се користи за додјељивање координата. У Декартовом координатном систему, све координатне криве су линије и, стога, постоји онолико координатних оса колико и координата. Штавише, координатне осе су парно ортогоналне.
Поларни координатни систем је криволинијски систем, гдје су координатне криве линије или кружнице. Међутим, једна од координатних кривих се своди на једну тачку, координатни почетак, који се често посматра као кружница радијуса нула. Слично томе, сферни и цилиндрични координатни системи имају координатне криве које су линије, кружнице или кружнице радијуса нула.
Многе криве се могу јавити као координатне криве. Нпр. координатне криве параболичких координата су параболе.
Координатне равни/површине
[уреди | уреди извор]
У тродимензионалном простору, ако је једна координата константна, а друге двије могу да варирају, онда се резултујућа површина назива координатна површина. Нпр. координатне површине добијене држањем ρ константе у сферном координатном систему су сфере са центром у координатном почетку. У тродимензионалном простору пресјек двије координатне површи је координатна крива. У Декартовом координатном систему можемо говорити о координатним равнима. Слично томе, координате хиперповрши су (n − 1)-димензионални простори који настају фиксирањем једне координате n-димензионалног координатног система.[14]
Координатне карте
[уреди | уреди извор]Концепт координатне карте, или координатног графикона, кључан је за теорију многострукости. Координатна карта је у суштини координатни систем за подскуп датог простора са својством да свака тачка има тачно један скуп координата. Прецизније, координатно пресликавање је хомеоморфизам из отвореног подскупа простора X у отворени подскуп простора Rn.[15] Често није могуће обезбједити један конзистентан координатни систем за цио простор. У овом случају, збирка координатних карти се саставља како би формирао атлас који покрива простор. Просто опремљен таквим атласом називе се многострукост, а додатна структура се може дефинисати на многострукости ако је структура конзистентна тамо гдје се координатне карте преклапају. Нпр. диференцијабилна многострукост је многострукост гдје је промјена координата из једног координатног пресликавања у друго, увијек диференцијабилна функција.
Координате засноване на оријентацији
[уреди | уреди извор]У геоматрији и кинематици, координатни системи се користе за описивање (линеарног) положаја тачака и угаоног положаја оса, равни и апсолутно тврдих тијела.[16] У другом случају, оријентација другог (обично називаног „локалног”) координатног система, фиксираног за чвор, дефинише се на основу првог (обично названог „глобални” или „свјетски” координатни систем). Нпр. оријентација апсолутно тврдог тијела може се представити матрицом оријентације, која у своје три колоне укључује Декартове координате три тачке. Ове тачке се користе за дефинисање оријентације оса локалног система; оне су врхови три јединична вектора поравната са тим осама.
Географски системи
[уреди | уреди извор]Земља као цјелина је једна од најчешћих геометријских простора који захтјева прецизно мјерење локације, а самим тим и координатних система. Почевши од Грка из хеленистичког доба, развијени су различити координатни системи на основу горе наведених типова, укључују:
- Географски координатни систем, сферне координате географске ширине и дужине.
- Пројектовани координатни систем, укључујући хиљаде Декартових координатних система, сваки заснован на пројекцији карте како би се створила равна површина свјета или региона.
- Геоцентрични координатни систем, тродимензионални Декартов координатни систем који моделира Земљу као објекат и најчешће се користи за моделирање орбита сателита, укључујући Глобални позициони систем и друге сателитске навигационе системе.
Види још
[уреди | уреди извор]- Апсолутни угаони момент
- Алфанумеричка мрежа
- Конвенције оса у инжењерству
- Небески координатни системи
- Координатни оквир
- Без координата
- Разломљени координатни систем
- Референтни систем
- Галилејева трансформација
- Номограм, графички прикази различитих координатних система
- Ротација оса у двије димензије
- Транслација оса
Релативистички координатни системи
[уреди | уреди извор]Референце
[уреди | уреди извор]- ^ Woods 1922, стр. 1.
- ^ Weisstein, Eric W. „Coordinate System”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). MathWorld. Приступљено 20. 9. 2025.
- ^ Weisstein, Eric W. „Coordinates”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). MathWorld. Приступљено 20. 9. 2025.
- ^ Stewart, Redlin & Watson 2008, стр. 13–19.
- ^ Anton, Bivens & Davis 2021, стр. 657.
- ^ Moon & Spencer 1988, стр. 9–11 (Table 1.01).
- ^ Finney et al. 1994.
- ^ Margenau & Murphy 1956, стр. 178.
- ^ Morse & Feshbach 1953, стр. 658.
- ^ Jones 1912.
- ^ Hodge & Pedoe 1994.
- ^ Woods 1922, стр. 2.
- ^ Tang 2007, стр. 13.
- ^ Lisejkin 2007, стр. 38.
- ^ Munkres 2000.
- ^ Schaub & Junkins 2003, стр. 71.
Литература
[уреди | уреди извор]- Woods, Frederick Shenstone (1922). Higher geometry; an introduction to advanced methods in analytic geometry (на језику: енглески). Boston, New York: Ginn and company. Приступљено 22. 9. 2025.
- Stewart, James; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra (на језику: енглески) (5 изд.). Cengage Learning. ISBN 978-0-495-56521-5.
- Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2021). Calculus: Early Transcendentals (на језику: енглески). Wiley. ISBN 978-1-119-77798-4.
- Moon, Parry Hiram; Spencer, Domina Eberle (1988). „Rectangular Coordinates (x, y, z)”. Field theory handbook: including coordinate systems, differential equations, and their solutions (на језику: енглески) (2., corr. 3. printing изд.). Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo: Springer. ISBN 978-0-387-18430-2.
- Finney, Ross; Thomas, George; Demana, Franklin; Waits, Bert (1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic : Single Variable Version (на језику: енглески). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55478-6. Приступљено 21. 9. 2025.
- Margenau, Henry; Murphy, George Moseley (1956). The mathematics of physics and chemistry (на језику: енглески). New Jersey: Princeton : Van Nostrand. Приступљено 21. 9. 2025.
- Morse, Philip McCord; Feshbach, Herman (1953). Methods of theoretical physics (на језику: енглески). Boston, Mass: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-8.
- Jones, Alfred Clement (1912). Introduction To Algebraical Geometry (на језику: енглески). Oxford University Press. Приступљено 21. 9. 2025.
- Hodge, William V.; Pedoe, Daniel (1994). Methods of Algebraic Geometry, Volume I (Book II) (на језику: енглески) (reissued изд.). Cambridge: Univ. Pr. ISBN 978-0-521-46900-5.
- Tang, Kwŏng-tin (2007). Mathematical Methods for Engineers and Scientists 2: Vector Analysis, Ordinary Differential Equations and Laplace Transforms (на језику: енглески). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 3-540-30268-9.
- Lisejkin, Vladimir Dmitrievič (2007). A computational differential geometry approach to grid generation (2nd изд.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-34235-9.
- Munkres, James Raymond (2000). Topology (на језику: енглески) (2nd изд.). Upper Saddle River (N. J.): Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Schaub, Hanspeter; Junkins, John L. (2003). „Rigid body kinematics”. Ур.: Schaub, Hanspeter. Analytical Mechanics of Space Systems. Reston: American Institute of Aeronautics and Astronautics. ISBN 1-56347-563-4.
Додатна литература
[уреди | уреди извор]- Morita, Shigeyuki; Nagase, Teruko; Nomizu, Katsumi (2001). Geometry of differential forms (на језику: енглески). Providence (R.I): American mathematical society. ISBN 0-8218-1045-6.
Спољашње везе
[уреди | уреди извор]- „Hexagonal Coordinate Systems” (PDF). homepages.inf.ed.ac.uk (на језику: енглески). The University of Edinburgh School of informatics.
