Booleova nerovnost

Booleova nerovnost je označení pro tvrzení z oboru teorie pravděpodobnosti pojmenované po Georgeovi Booleovi, které říká, že pro každou spočetnou množinu náhodných jevů je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich nastane, nejvýše rovna součtu pravděpodobností jednotlivých jevů.

Z hlediska teorie míry je tvrzení důsledkem skutečnosti, že jakákoliv míra včetně pravděpodobnostní míry je spočetně subaditivní.

Formální vyjádření

Pro spočetnou množinu náhodných jevů $A_{1},A_{2},\dots$ platí

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}{\mathbb {P} }(A_{i}).$

Důkaz indukcí

Případ $n=1$, zjevně platí, neboť

$\mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1}).$

Předpokládejme, že tvrzení platí pro $n$, tedy

${\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).$

Protože platí $\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B),$ a operace sjednocení je asociativní, platí

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right).$

Dále protože

${\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}{\biggr )}\geq 0,$

pak podle prvního Kolmogorovova axiomu pravděpodobnosti máme

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1}),$

a tedy v kombinaci s indukčním předpokladem

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Boole's inequality na anglické Wikipedii.

Portály: Matematika