수학 , 특히 다중선형대수학 에서 다이애딕 (dyadic) 또는 다이애딕 텐서 (dyadic tensor)는 벡터 미적분학 에 맞는 표기법으로 작성된 2차 텐서 이다.
두 유클리드 벡터 를 곱하는 방법에는 여러 가지가 있다. 스칼라곱 은 두 벡터를 받아 스칼라 를 반환하는 반면, 벡터곱 [ a] 유사벡터 를 반환한다. 이 둘은 모두 중요한 기하학적 해석을 가지며 수학, 물리학 , 공학 에서 널리 사용된다. 다이애딕 곱 은 두 벡터를 받아 이 맥락에서 다이애딕이라고 불리는 2차 텐서를 반환한다. 다이애딕은 물리적 또는 기하학적 정보를 담는 데 사용될 수 있지만, 일반적으로 이를 기하학적으로 해석하는 직접적인 방법은 없다.
다이애딕 곱은 벡터 덧셈 에 대해 분배적 이고 스칼라배 에 대해 결합적 이다. 따라서 다이애딕 곱은 두 피연산자 모두에서 선형 이다. 일반적으로 두 다이애딕은 더하여 다른 다이애딕을 얻을 수 있으며, 숫자로 곱하여 다이애딕을 스케일링할 수 있다. 그러나 이 곱은 교환적 이지 않다. 벡터의 순서를 바꾸면 다른 다이애딕이 된다.
다이애딕 대수 의 형식은 벡터의 다이애딕 곱을 포함하도록 벡터 대수를 확장한 것이다. 다이애딕 곱은 다른 벡터와의 스칼라곱 및 벡터곱과도 결합적이며, 이를 통해 스칼라곱, 벡터곱 및 다이애딕 곱을 결합하여 다른 스칼라, 벡터 또는 다이애딕을 얻을 수 있다.
또한 행렬 대수 의 일부 측면을 가지는데, 벡터의 수치 성분은 행 벡터 와 열 벡터 로 배열될 수 있고, 2차 텐서의 성분은 정사각 행렬 로 배열될 수 있다. 또한 스칼라곱, 벡터곱 및 다이애딕 곱은 모두 행렬 형식으로 표현될 수 있다. 다이애딕 표현은 행렬 등가물과 매우 유사할 수 있다.
다이애딕과 벡터의 스칼라곱은 다른 벡터를 제공하며, 이 결과의 스칼라곱을 취하면 다이애딕에서 파생된 스칼라를 얻을 수 있다. 주어진 다이애딕이 다른 벡터에 미치는 영향은 간접적인 물리적 또는 기하학적 해석을 제공할 수 있다.
다이애딕 표기법은 1884년 조사이어 윌러드 기브스 에 의해 처음 확립되었다. 이 표기법과 용어는 오늘날 비교적 구식이다. 물리학에서의 용도는 연속체 역학 및 전자기학 을 포함한다.
이 문서에서 대문자 굵은 변수는 다이애딕(다이애드 포함)을 나타내고, 소문자 굵은 변수는 벡터를 나타낸다. 대안적인 표기법은 각각 이중 및 단일 위 또는 아래 막대를 사용한다.
다이애드는 차수 2, 계수 1인 텐서 이며, 두 유클리드 벡터 (일반적으로 복소수 벡터)의 다이애딕 곱인 반면, 다이애딕은 차수 2인 일반 텐서 이다(전체 계수일 수도 있고 아닐 수도 있다).
이 곱에 대해 여러 가지 동등한 용어와 표기법이 있다.
두 벡터
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
다이애딕 곱 은
a
b
{\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }
두 열 벡터
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
외적
a
⊗
b
{\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }
a
b
T
{\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}}
T
{\displaystyle {\mathsf {T}}}
전치 행렬 을 의미한다.
두 벡터
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
텐서곱
a
⊗
b
{\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }
다이애딕 맥락에서 이들은 모두 동일한 정의와 의미를 가지며 동의어로 사용되지만, 텐서곱 은 용어의 더 일반적이고 추상적인 사용의 한 예이다.
동등한 사용법을 설명하기 위해 3차원 유클리드 공간 을 고려하고, 다음을 가정한다.
a
=
a
1
i
+
a
2
j
+
a
3
k
b
=
b
1
i
+
b
2
j
+
b
3
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}}
여기서 i , j , k (e 1 , e 2 , e 3 로도 표기됨)는 이 벡터 공간 의 표준 기저 벡터 이다(또한 데카르트 좌표계 참조). 그러면 a 와 b 의 다이애딕 곱은 합으로 표현될 수 있다.
a
b
=
a
1
b
1
i
i
+
a
1
b
2
i
j
+
a
1
b
3
i
k
+
a
2
b
1
j
i
+
a
2
b
2
j
j
+
a
2
b
3
j
k
+
a
3
b
1
k
i
+
a
3
b
2
k
j
+
a
3
b
3
k
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}}
또는 행 벡터 및 열 벡터로부터의 확장으로, 3×3 행렬(또한 a 와 b 의 외적 또는 텐서곱의 결과)로 표현될 수 있다.
a
b
≡
a
⊗
b
≡
a
b
T
=
(
a
1
a
2
a
3
)
(
b
1
b
2
b
3
)
=
(
a
1
b
1
a
1
b
2
a
1
b
3
a
2
b
1
a
2
b
2
a
2
b
3
a
3
b
1
a
3
b
2
a
3
b
3
)
.
{\displaystyle \mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.}
다이애드는 다이애딕의 구성 요소(합의 단항식 또는 행렬의 항목)이다. 즉, 한 쌍의 기저 벡터 의 다이애딕 곱에 숫자가 스칼라배 된 것이다.
표준 기저 (및 단위) 벡터 i , j , k 는 다음과 같은 표현을 가진다.
i
=
(
1
0
0
)
,
j
=
(
0
1
0
)
,
k
=
(
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
(전치될 수 있다), 표준 기저 (및 단위) 다이애드는 다음과 같은 표현을 가진다.
i
i
=
(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
)
,
i
j
=
(
0
1
0
0
0
0
0
0
0
)
,
i
k
=
(
0
0
1
0
0
0
0
0
0
)
j
i
=
(
0
0
0
1
0
0
0
0
0
)
,
j
j
=
(
0
0
0
0
1
0
0
0
0
)
,
j
k
=
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
)
k
i
=
(
0
0
0
0
0
0
1
0
0
)
,
k
j
=
(
0
0
0
0
0
0
0
1
0
)
,
k
k
=
(
0
0
0
0
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
표준 기저에서의 간단한 수치 예시는 다음과 같다.
A
=
2
i
j
+
3
2
j
i
−
8
π
j
k
+
2
2
3
k
k
=
2
(
0
1
0
0
0
0
0
0
0
)
+
3
2
(
0
0
0
1
0
0
0
0
0
)
−
8
π
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
)
+
2
2
3
(
0
0
0
0
0
0
0
0
1
)
=
(
0
2
0
3
2
0
−
8
π
0
0
2
2
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
유클리드 공간이 N-차원 이고,
a
=
∑
i
=
1
N
a
i
e
i
=
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
…
+
a
N
e
N
b
=
∑
j
=
1
N
b
j
e
j
=
b
1
e
1
+
b
2
e
2
+
…
+
b
N
e
N
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}}
여기서 e i 와 e j 는 N차원의 표준 기저 벡터이다 (e i 의 i는 벡터의 구성 요소가 아닌 특정 벡터를 선택한다, ai 에서처럼). 그러면 대수 형식으로 이들의 다이애딕 곱은 다음과 같다.
a
b
=
∑
j
=
1
N
∑
i
=
1
N
a
i
b
j
e
i
e
j
.
{\displaystyle \mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.}
이것은 다이애딕의 비오니온(nonion) 형식으로 알려져 있다. 행렬 형식의 외적/텐서곱은 다음과 같다.
a
b
=
a
b
T
=
(
a
1
a
2
⋮
a
N
)
(
b
1
b
2
⋯
b
N
)
=
(
a
1
b
1
a
1
b
2
⋯
a
1
b
N
a
2
b
1
a
2
b
2
⋯
a
2
b
N
⋮
⋮
⋱
⋮
a
N
b
1
a
N
b
2
⋯
a
N
b
N
)
.
{\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.}
다이애딕이라고도 하는 다이애딕 다항식 A 는 여러 벡터 a i 와 b j 로 구성된다.
A
=
∑
i
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
+
…
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots }
N개 미만의 다이애드의 합으로 줄일 수 없는 다이애딕은 완전하다고 한다. 이 경우, 구성 벡터는 동일 평면상에 있지 않다. Chen (1983) 을 참조하라.
다음 표는 다이애딕을 분류한다.
행렬식
수반 행렬
행렬 및 그 계수
영(Zero)
= 0
= 0
= 0; 계수 0: 모든 원소가 0
선형(Linear)
= 0
= 0
≠ 0; 계수 1: 적어도 하나는 0이 아닌 원소를 가지며 모든 2×2 부분행렬식은 0 (단일 다이애딕)
평면
= 0
≠ 0 (단일 다이애딕)
≠ 0; 계수 2: 적어도 하나는 0이 아닌 2×2 부분행렬식
완전(Complete)
≠ 0
≠ 0
≠ 0; 계수 3: 0이 아닌 행렬식
다음 항등식은 텐서곱의 정의의 직접적인 결과이다.[ 1]
스칼라배 와 호환:
(
α
a
)
b
=
a
(
α
b
)
=
α
(
a
b
)
{\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )}
α
{\displaystyle \alpha }
분배적 이며 벡터 덧셈 에 대해:
a
(
b
+
c
)
=
a
b
+
a
c
(
a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}}
벡터와 다이애딕에 대해 정의된 네 가지 연산이 있으며, 이는 벡터에 대해 정의된 곱으로부터 구성된다.
왼쪽
오른쪽
스칼라곱
c
⋅
(
a
b
)
=
(
c
⋅
a
)
b
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)=\left(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \right)\mathbf {b} }
(
a
b
)
⋅
c
=
a
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle \left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)}
벡터곱
c
×
(
a
b
)
=
(
c
×
a
)
b
{\displaystyle \mathbf {c} \times \left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {c} \times \mathbf {a} \right)\mathbf {b} }
(
a
b
)
×
c
=
a
(
b
×
c
)
{\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right)\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)}
하나의 다이애딕을 다른 다이애딕에 적용하는 다섯 가지 연산이 있다. a , b , c , d 를 실수 벡터라고 하자. 그러면 다음과 같다.
점(Dot)
교차(Cross)
점(Dot)
스칼라곱(Dot product)
(
a
b
)
⋅
(
c
d
)
=
a
(
b
⋅
c
)
d
=
(
b
⋅
c
)
a
d
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)&=\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {a} \mathbf {d} \end{aligned}}}
이중 스칼라곱(Double-dot product)
(
a
b
)
⋅
⋅
(
c
d
)
=
c
⋅
(
a
b
)
⋅
d
=
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)&=\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {ab} \right)\cdot \mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)\end{aligned}}}
그리고
a
b
⋅
⋅
_
c
d
=
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle \mathbf {ab} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {cd} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)}
점-교차곱(Dot–cross product)
(
a
b
)
⋅
×
(
c
d
)
=
(
a
⋅
c
)
(
b
×
d
)
{\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\times }\left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)}
교차(Cross)
교차-점곱(Cross–dot product)
(
a
b
)
×
⋅
(
c
d
)
=
(
a
×
c
)
(
b
⋅
d
)
{\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)}
이중 교차곱(Double cross product)
(
a
b
)
×
×
(
c
d
)
=
(
a
×
c
)
(
b
×
d
)
{\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)}
두 일반 다이애딕을 다음과 같이 두자.
A
=
∑
i
a
i
b
i
,
B
=
∑
j
c
j
d
j
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {c} _{j}\mathbf {d} _{j}}
그러면 다음과 같다.
점(Dot)
교차(Cross)
점(Dot)
스칼라곱(Dot product)
A
⋅
B
=
∑
i
,
j
(
b
i
⋅
c
j
)
a
i
d
j
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\mathbf {a} _{i}\mathbf {d} _{j}}
이중 스칼라곱(Double dot product)
A
⋅
⋅
B
=
∑
i
,
j
(
a
i
⋅
c
j
)
(
b
i
⋅
d
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\end{aligned}}}
그리고
A
⋅
⋅
_
B
=
∑
i
,
j
(
a
i
⋅
d
j
)
(
b
i
⋅
c
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\end{aligned}}}
점-교차곱(Dot–cross product)
A
⋅
×
B
=
∑
i
,
j
(
a
i
⋅
c
j
)
(
b
i
×
d
j
)
{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)}
교차(Cross)
교차-점곱(Cross–dot product)
A
×
⋅
B
=
∑
i
,
j
(
a
i
×
c
j
)
(
b
i
⋅
d
j
)
{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\,\centerdot }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)}
이중 교차곱(Double cross product)
A
×
×
B
=
∑
i
,
j
(
a
i
×
c
j
)
(
b
i
×
d
j
)
{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)}
이중 스칼라곱의 첫 번째 정의는 프로베니우스 내적 이다.
tr
(
A
B
T
)
=
∑
i
,
j
tr
(
a
i
b
i
T
d
j
c
j
T
)
=
∑
i
,
j
tr
(
c
j
T
a
i
b
i
T
d
j
)
=
∑
i
,
j
(
a
i
⋅
c
j
)
(
b
i
⋅
d
j
)
=
A
⋅
⋅
B
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\right)\\&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})\\&=\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} \end{aligned}}}
더 나아가,
A
T
=
∑
i
,
j
(
a
i
b
j
T
)
T
=
∑
i
,
j
b
i
a
j
T
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}&=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{j}^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\\&=\sum _{i,j}\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}
이므로, 다음과 같다.
A
⋅
⋅
B
=
A
⋅
⋅
_
B
T
{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} =\mathbf {A} {\underline {{}_{\centerdot }^{\centerdot }}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}}
따라서 이중 스칼라곱의 두 번째 가능한 정의는 단지 두 번째 다이애딕에 추가적인 전치를 가한 첫 번째 정의이다. 이러한 이유로 이중 스칼라곱의 첫 번째 정의가 선호되지만, 일부 저자들은 여전히 두 번째 정의를 사용한다.
두 벡터 a 와 b 로 형성된 모든 다이애드는 이중 벡터곱이 0임을 알 수 있다.
(
a
b
)
×
×
(
a
b
)
=
(
a
×
a
)
(
b
×
b
)
=
0
{\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0}
그러나 정의에 따라 다이애딕의 자신에 대한 이중 벡터곱은 일반적으로 0이 아니다. 예를 들어, 여섯 개의 다른 벡터로 구성된 다이애딕 A 는
A
=
∑
i
=
1
3
a
i
b
i
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}}
0이 아닌 자체 이중 벡터곱을 갖는다.
A
×
×
A
=
2
[
(
a
1
×
a
2
)
(
b
1
×
b
2
)
+
(
a
2
×
a
3
)
(
b
2
×
b
3
)
+
(
a
3
×
a
1
)
(
b
3
×
b
1
)
]
{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]}
박차(spur) 또는 확장 계수(expansion factor)는 다이애딕을 좌표 기저에서 각 다이애딕 곱을 벡터의 스칼라곱으로 대체하여 형식적으로 확장함으로써 발생한다.
|
A
|
=
A
11
i
⋅
i
+
A
12
i
⋅
j
+
A
13
i
⋅
k
+
A
21
j
⋅
i
+
A
22
j
⋅
j
+
A
23
j
⋅
k
+
A
31
k
⋅
i
+
A
32
k
⋅
j
+
A
33
k
⋅
k
=
A
11
+
A
22
+
A
33
{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}}
지표 표기법에서는 다이애딕의 지표 축약이다.
|
A
|
=
∑
i
A
i
i
{\displaystyle |\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}}
3차원에서만 회전 계수(rotation factor)는 모든 다이애딕 곱을 벡터곱 으로 대체함으로써 발생한다.
⟨
A
⟩
=
A
11
i
×
i
+
A
12
i
×
j
+
A
13
i
×
k
+
A
21
j
×
i
+
A
22
j
×
j
+
A
23
j
×
k
+
A
31
k
×
i
+
A
32
k
×
j
+
A
33
k
×
k
=
A
12
k
−
A
13
j
−
A
21
k
+
A
23
i
+
A
31
j
−
A
32
i
=
(
A
23
−
A
32
)
i
+
(
A
31
−
A
13
)
j
+
(
A
12
−
A
21
)
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}}
지표 표기법에서는 A 와 레비치비타 텐서 의 축약이다.
⟨
A
⟩
=
∑
j
k
ϵ
i
j
k
A
j
k
.
{\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.}
어떤 벡터 a 에 대해서도 다음과 같은 성질을 만족하는 단위 다이애딕 I 가 존재한다.
I
⋅
a
=
a
⋅
I
=
a
{\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a} }
3개의 벡터 a , b , c 의 기저가 주어지고, 쌍대 기저
a
^
,
b
^
,
c
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }},{\hat {\mathbf {b} }},{\hat {\mathbf {c} }}}
I
=
a
a
^
+
b
b
^
+
c
c
^
{\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}}
표준 기저에서 (i , j , k 의 정의는 위 섹션 § 3차원 유클리드 공간 참조),
I
=
i
i
+
j
j
+
k
k
{\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk} }
명시적으로, 단위 다이애딕의 오른쪽에 있는 스칼라곱은 다음과 같다.
I
⋅
a
=
(
i
i
+
j
j
+
k
k
)
⋅
a
=
i
(
i
⋅
a
)
+
j
(
j
⋅
a
)
+
k
(
k
⋅
a
)
=
i
a
x
+
j
a
y
+
k
a
z
=
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} &=(\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mathbf {i} (\mathbf {i} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {j} (\mathbf {j} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mathbf {i} a_{x}+\mathbf {j} a_{y}+\mathbf {k} a_{z}\\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}
그리고 왼쪽에 있는 것은
a
⋅
I
=
a
⋅
(
i
i
+
j
j
+
k
k
)
=
(
a
⋅
i
)
i
+
(
a
⋅
j
)
j
+
(
a
⋅
k
)
k
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
=
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} &=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {i} )\mathbf {i} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {j} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} \\&=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}
해당 행렬은 다음과 같다.
I
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
{\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
이것은 텐서곱의 언어를 사용하여 더 신중한 기초 위에 놓일 수 있다("병렬 표기법"의 논리적 내용이 무엇을 의미할 수 있는지 설명). V가 유한 차원 벡터 공간 인 경우, V상의 다이애딕 텐서는 V와 그 쌍대 공간 의 텐서곱에 있는 기본 텐서이다.
V와 그 쌍대 공간의 텐서곱은 V에서 V로의 선형 변환 공간과 동형 이다. 다이애딕 텐서 vf는 단순히 V의 모든 w를 f(w)v로 보내는 선형 변환이다. V가 유클리드 n-공간일 때, 우리는 내적 을 사용하여 쌍대 공간을 V 자체와 식별할 수 있으며, 다이애딕 텐서를 유클리드 공간의 두 벡터의 기본 텐서곱으로 만든다.
이러한 의미에서 단위 다이애딕 ij 는 3차원에서 자신으로 가는 함수로, a1 i + a2 j + a3 k 를 a2 i 로 보내고, jj 는 이 합을 a2 j 로 보낸다. 이제 ii + jj + kk 가 항등원인 (정확한) 의미가 드러난다. 즉, 표준 기저의 각 단위 벡터를 해당 기저의 벡터 계수로 스케일링한 것을 합산하는 효과를 가지므로 a1 i + a2 j + a3 k 를 자기 자신으로 보낸다.
(
a
×
I
)
⋅
(
b
×
I
)
=
b
a
−
(
a
⋅
b
)
I
I
×
⋅
(
a
b
)
=
b
×
a
I
×
×
A
=
(
A
⋅
⋅
I
)
I
−
A
T
I
⋅
⋅
(
a
b
)
=
(
I
⋅
a
)
⋅
b
=
a
⋅
b
=
t
r
(
a
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {I} \right)\cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {I} \right)&=\mathbf {ba} -\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {I} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\mathbf {b} \times \mathbf {a} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} &=(\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}}
여기서 "tr"은 대각합 을 나타낸다.
0이 아닌 벡터 a 는 항상 두 개의 수직 구성 요소, 즉 단위 벡터 n 의 방향에 평행한 (‖) 구성 요소와 이에 수직한 (⊥) 구성 요소로 분할될 수 있다.
a
=
a
∥
+
a
⊥
{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }}
평행 성분은 벡터 사영 으로 찾을 수 있으며, 이는 a 와 다이애딕 nn 의 스칼라곱과 동일하다.
a
∥
=
n
(
n
⋅
a
)
=
(
n
n
)
⋅
a
{\displaystyle \mathbf {a} _{\parallel }=\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }
그리고 수직 성분은 벡터 배제 로 찾을 수 있으며, 이는 a 와 다이애딕 I − nn
a
⊥
=
a
−
n
(
n
⋅
a
)
=
(
I
−
n
n
)
⋅
a
{\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {I} -\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }
다이애딕
J
=
j
i
−
i
j
=
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}
는 2차원에서 90° 반시계 방향 회전 연산자 이다. 벡터 r = xi + yj 에 왼쪽에서 점곱을 하면 다음 벡터가 생성된다.
(
j
i
−
i
j
)
⋅
(
x
i
+
y
j
)
=
x
j
i
⋅
i
−
x
i
j
⋅
i
+
y
j
i
⋅
j
−
y
i
j
⋅
j
=
−
y
i
+
x
j
,
{\displaystyle (\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,}
요약하면
J
⋅
r
=
r
r
o
t
{\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }}
또는 행렬 표기법으로
(
0
−
1
1
0
)
(
x
y
)
=
(
−
y
x
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.}
임의의 각도 θ에 대해, 평면에서 반시계 방향 회전에 대한 2차원 회전 다이애딕은
R
=
I
cos
θ
+
J
sin
θ
=
(
i
i
+
j
j
)
cos
θ
+
(
j
i
−
i
j
)
sin
θ
=
(
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
)
{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}}
여기서 I 와 J 는 위와 같으며, 모든 2차원 벡터 a = ax i + ay j 의 회전은 다음과 같다.
a
r
o
t
=
R
⋅
a
{\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} }
벡터 a 의 일반적인 3차원 회전은 단위 벡터 ω 방향의 축을 중심으로 시계 반대 방향으로 각도 θ만큼 회전하는 것으로, 다이애딕 형태의 로드리게스 회전 공식 을 사용하여 수행할 수 있다.
a
r
o
t
=
R
⋅
a
,
{\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,}
여기서 회전 다이애딕은
R
=
I
cos
θ
+
Ω
sin
θ
+
ω
ω
(
1
−
cos
θ
)
,
{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +{\boldsymbol {\Omega }}\sin \theta +{\boldsymbol {\omega \omega }}(1-\cos \theta )\,,}
이며, ω 의 데카르트 성분 또한 다이애딕의 성분을 구성한다.
Ω
=
ω
x
(
k
j
−
j
k
)
+
ω
y
(
i
k
−
k
i
)
+
ω
z
(
j
i
−
i
j
)
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,}
Ω 가 a 에 미치는 영향은 벡터곱이다.
Ω
⋅
a
=
ω
×
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} }
이는 열 벡터와 함께 벡터곱 행렬 의 다이애딕 형태이다.
특수 상대성이론 에서 단위 벡터 n 방향으로 속도 v를 가진 로런츠 부스트 는 다음과 같이 표현될 수 있다.
t
′
=
γ
(
t
−
v
n
⋅
r
c
2
)
{\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)}
r
′
=
[
I
+
(
γ
−
1
)
n
n
]
⋅
r
−
γ
v
n
t
{\displaystyle \mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t}
여기서
γ
=
1
1
−
v
2
c
2
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
는 로런츠 인자 이다.
일부 저자들은 다이애딕이라는 용어를 삼진(triadic), 사진(tetradic), 다진(polyadic)과 같은 관련 용어로 일반화한다.[ 2]
↑ 벡터곱은 방향이 있는 3차원 및 7차원 내적 공간 에만 존재하며 3차원 내적 공간에서만 좋은 특성을 가진다. 관련 외대수 는 모든 벡터 공간에 존재한다.
P. Mitiguy (2009). “Vectors and dyadics” (PDF) . 스탠퍼드 , USA. Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). 《Vector analysis, Schaum's outlines》. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7 A.J.M. Spencer (1992). 《Continuum Mechanics》. Dover Publications. ISBN 0-486-43594-6 Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953), 〈§1.6: Dyadics and other vector operators〉, 《Methods of theoretical physics, Volume 1》, New York: 맥그로-힐 , 54–92쪽, ISBN 978-0-07-043316-8 MR 0059774 Ismo V. Lindell (1996). 《Methods for Electromagnetic Field Analysis》. Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6 Hollis C. Chen (1983). 《Theory of Electromagnetic Wave - A Coordinate-free approach》. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-010688-8 K. Cahill (2013). 《Physical Mathematics》. Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004e10c7876a31cff93419b2d7711a762379f08f)
![{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e3124661942d3e4aeac239dd80a5fde39d766d)
이 부분의 본문은 텐서 축약입니다.![{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f5453a39750ad2240a5ef1cb4259f2cf5f4907)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd209c1d383ed8a3009424fdf877bcec006f9fad)
![{\displaystyle \mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7530f1fd9a93b9f35538c12c2086c93a15684b2d)
